§ 6. Геометрический смысл линейной зависимости векторов

Согласно теореме 5 § 4 из двух коллинеарных векторов один получается умножением другого на некоторое число; отсюда следует утверждение

1. Система, состоящая из двух (или более) коллинеарных векторов, линейно зависима.

С другой стороны, если два вектора линейно зависимы, то в силу предложения 3 § 5 один из них получается умножением другого на число, а тогда векторы коллинеарны.

Итак,

2. Система, состоящая из двух векторов, тогда и только тогда линейно зависима, когда векторы коллинеарны.

Докажем теперь утверждение

3. Система, состоящая из трек векторов, тогда и только тогда линейно зависима, когда данные три вектора компланарны.

В самом , пусть векторы линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например,

Приложим векторы к одной и той же точке О (рис. так что

Предположим сначала, что векторы

не коллинеарны; тогда несущие их прямые пересекаются в точке О и определяют некоторую плоскость , проходящую через эту точку. В этой плоскости лежат и векторы , а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ, которая есть вектор . Значит, все тривектора лежат в плоскости ; их компланарность доказана.

Предположим теперь, что векторы

коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, и на этой прямой лежат как векторы , так и их сумма три вектора оказываются не только компланарными, по даже коллинеариымн.

Первая половина теоремы доказана: три линейно зависимых вектора всегда компланарны. Докажем теперь, что всякая система, состоящая из трех (или более) компланарных векторов, линейно зависима.

Пусть векторы компланарны. Если бы какие-нибудь два из этих векторов были коллинеарны, то они были бы линейно зависимы, а тогда и система всех трех векторов была бы линейно зависимой.

Рис. 30.

Итак, предполагаем, что на и не коллинеарны (см. рис. 30). Так как все три вектора лежат в одной плоскости и не коллинеарны, то по теореме 8 § 4

чем линейная зависимость векторов доказана.

4. Всякие четыре (или более) вектора в пространстве линейно зависимы.

Пусть — данные векторы. Если три каких-нибудь вектора из данных четырех, например , компланарны, то они линейно зависимы, и тогда линейно зависима и вся система .

Но если векторы не компланарны, то в силу теоремы 8 из § 4 имеем

, чем предложение 4 доказано.