§ 4. Параболический случай
В любом случае, в том числе и параболическом, можно поворотом координатной системы на угол а, определяемый из равенства (10) § 2, преобразовать уравнение
исследуемой кривой к виду
Так как теперь 
то один из корней характеристического уравнения равен нулю.
Пусть 
Тогда 
и уравнение (
) может быть написано в виде
В уравнении (10) § 2 надо положить 
так что для определения угла а получается особенно простая формула:
(последнее равенство следует из 
).
Исследование уравнения (1) начнем с вычисления инварианта 
. Имеем
откуда
так что 
тогда и только тогда обращается в нуль, когда 
.
Рассмотрим сначала случай 
тогда уравнение (1) имеет вид
Это — квадратное уравнение; обозначая его корни через 
видим, что линия (4) есть пара прямых
параллельных оси 
.
Их угловой коэффициент относительно исходной системы координат 
есть
Для полного определения этих прямых достаточно найти их точки пересечения с одной из старых осей координат 
или 
для чего достаточно решить первоначальное уравнение 
совместно с 
или 
.
Однако удобнее рассуждать так.
Уравнение (1) переписываем в виде
где
Посредством сдвига
системы координат преобразуем уравнение (5) к виду
Положим
Теперь возможны три случая:
уравнение (5) записывается в виде
имеем пару параллельных мнимых сопряженных прямых.
уравнение (5) записывается в виде
и определяет пару различных действительных параллельных прямых.
уравнение (5) принимает вид
и определяет пару слившихся прямых.
Переходим ко второму случаю: 
, т. е. 
. Кривая 
имеет в системе координат 
уравнение
т. е. является (так как 
параболой (что нам известно уже из § 1, п. 3).
Найдем ее параметр р. Для этого сделаем перенос начала координат
Внося (6) в (1), получаем
Так как 
приравнивая коэффициент при 
нулю, получаем уравнение
из которого определяем 
После этого приравниваем нулю выражение
Так как 
получаем уравнение относительно 
откуда и определяем 
.
В системе координат 
уравнение 
принимает вид или
Меняя, если нужно, положительное направление оси 
на противоположное, всегда можно добиться того, чтобы число
было положительным. Окончательно записываем уравнение (9) в виде
где (на основании формулы 
)
(корень берется, конечно, положительный).
Направление оси параболы есть (с точностью до знака) направление оси 
т. е. направление оси 
Ее угловой коэффициент (по отношению к старой системе координат 
) есть
Для полного определения расположения параболы нужно знать еще координаты вершины 
а также, в какую сторону парабола обращена вогнутостью (т. е. каково должно быть положительное направление оси 
чтобы числа 
а и 5 имели противоположные знаки).
Простое решение этих вопросов будет дано в главе XVII, § 11.
