§ 4. Параболический случай

В любом случае, в том числе и параболическом, можно поворотом координатной системы на угол а, определяемый из равенства (10) § 2, преобразовать уравнение

исследуемой кривой к виду

Так как теперь то один из корней характеристического уравнения равен нулю.

Пусть Тогда и уравнение () может быть написано в виде

В уравнении (10) § 2 надо положить так что для определения угла а получается особенно простая формула:

(последнее равенство следует из ).

Исследование уравнения (1) начнем с вычисления инварианта . Имеем

откуда

так что тогда и только тогда обращается в нуль, когда .

Рассмотрим сначала случай тогда уравнение (1) имеет вид

Это — квадратное уравнение; обозначая его корни через видим, что линия (4) есть пара прямых

параллельных оси .

Их угловой коэффициент относительно исходной системы координат есть

Для полного определения этих прямых достаточно найти их точки пересечения с одной из старых осей координат или для чего достаточно решить первоначальное уравнение совместно с или .

Однако удобнее рассуждать так.

Уравнение (1) переписываем в виде

где

Посредством сдвига

системы координат преобразуем уравнение (5) к виду

Положим

Теперь возможны три случая:

уравнение (5) записывается в виде

имеем пару параллельных мнимых сопряженных прямых.

уравнение (5) записывается в виде

и определяет пару различных действительных параллельных прямых.

уравнение (5) принимает вид

и определяет пару слившихся прямых.

Переходим ко второму случаю: , т. е. . Кривая имеет в системе координат уравнение

т. е. является (так как параболой (что нам известно уже из § 1, п. 3).

Найдем ее параметр р. Для этого сделаем перенос начала координат

Внося (6) в (1), получаем

Так как приравнивая коэффициент при нулю, получаем уравнение

из которого определяем

После этого приравниваем нулю выражение

Так как получаем уравнение относительно

откуда и определяем .

В системе координат уравнение принимает вид или

Меняя, если нужно, положительное направление оси на противоположное, всегда можно добиться того, чтобы число

было положительным. Окончательно записываем уравнение (9) в виде

где (на основании формулы )

(корень берется, конечно, положительный).

Направление оси параболы есть (с точностью до знака) направление оси т. е. направление оси Ее угловой коэффициент (по отношению к старой системе координат ) есть

Для полного определения расположения параболы нужно знать еще координаты вершины а также, в какую сторону парабола обращена вогнутостью (т. е. каково должно быть положительное направление оси чтобы числа а и 5 имели противоположные знаки).

Простое решение этих вопросов будет дано в главе XVII, § 11.