Задачи к главе XVIII

Задача 79. Дан эллипсоид

и плосость

1) Выяснить, пересекает ли плоскость эллипсоид.

2) Найти центр линии пересечения.

Решение. Первый способ. 1) Найдем уравнение цилиндра, проектирующего линию пересечения эллипсоида и плоскости на плоскость Для этого исключим z из уравнений эллипсоида и плоскости. Сделаем это следующим образом: найдем z из уравнения плоскости и подставим полученное выражение для в уравнение эллипсоида:

или, после преобразований,

Это и есть уравнение цилиндра, проектирующего линию пересечения эллипсоида и плоскости на плоскость Вместе с уравнением оно определяет проекцию линии пересечения на плоскость . Так как проектирование есть аффинное отображение, то линия пересечения эллипсоида и плоскости и ее проекция на плоскость относятся к одному и тому же аффинному классу. Определим аффинный класс проекций. Имеем:

Проекция — эллипс; значит, плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу.

2) При проектировании центр сечения проектируется в центр проекции Найдем центр проекции. Имеем:

центр проекции

Так как проектирование производится параллельно оси , то первые две координаты у центра проекции те же, что и у центра сечения. Чтобы найти третью координату центра сечения, подставим в уравнение плоскости координаты центра проекции тогда найдем, что . Итак, центр сечения .

Замечание. Этим же способом решается следующая задача: 1) установить, по какой линии данная плоскость пересекает данную поверхность вюрого порядка; 2) если в сечении получается центральная пиния, найтн координаты ее центра.

Второй способ. 1) Рассмотрим аффинное преобразование

Это преобразование переводит эллипсоид в сферу

а данную плоскость — в плоскость

Так как расстояние от центра сферы до преобразованной плоскости равное то преобразованная плоскость пересекает сферу по окружности.

Следовательно, данная плоскость пересекает данный эллипсоид по эллипсу.

2) Найдем оснонание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на преобразованную плоскость. Уравнения этого перпендикуляра будут

Следовательно, основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на преобразованную плоскость, имеет координаты

Это и есть центр сечения сферы плоскостью.

Производя обратное аффинное преобразование

найдем координаты центра линии пересечения эллипсоида и плоскости:

Задача 80. Доказать, что если и q — большая и малая полуоси эллипса, получающегося в сечении эллипсоида

плоскостью , проходящей через его центр, то всегда имеют место неравенства

Доказательство. Заменяя в левой части уравнения эллипсоида все знаменатели дробей на наибольший из них получим неравенство

а при замене всех знаменателей наименьшим из них приходим к неравенству

Из этих неравенств вытекает, что а есть наибольшее, а с — наименьшее из расстояний от точек эллипсоида до его центра и, в частности, что

Остается показать, что

Обозначим через длину отрезка прямой пересечения плоскости а с плоскостью заключенного между эллипсоидом и его центром, а через s длину отрезка прямой пересечения плоскости а с плоскостью заключенный между эллипсоидом и его центром. На основании задачи 24 из рассмотрения сечения эллипсоида плоскостью заключаем, что а применяя тот же результат к эллипсу, получающемуся в сечении эллипсоида плоскостью а, находим, что следовательно,

Точно так же, применяя задачу 24 сначала к сечеиию эллипсоида плоскостью а затем плоскостью , находим последовательно откуда выводим, что

Задача 81. Доказать, что через центр трехосного эллипсоида проходят две и только две плоскости, пересекающие его по окружностям.

Доказательство. Пусть

— уравнение эллипсоида, причем

На основании предыдущей задачи можно утверждать, что если существует плоскость, проходящая через центр эллипсоида (1) и пересекающая его по окружности, то радиус этой окружности равен

Рассмотрим сферу

и перепишем ее уравнение в виде

Вычитая из уравнения (3) уравнение (1), получим уравнение

В силу неравенств (2)

поэтому можно положить

Тогда уравнение (4) принимает вид

следовательно, оно определяет пару плоскостей:

Точки пересечения эллипсоида и сферы, координаты которых удовлетворяют одновременно уравнениям и (3), принадлежат плоскостям (4), так как уравнение (4) есть линейная комбинация (1) и (3). Но эти плоскости, проходя через центр сферы, пересекают ее по окружности радиуса Таким образвм, у эллипсоида имеется два круговых сечения, проходящих через его среднюю ось, радиус которых равен средней полуоси.

Задача 82. Написать уравнение конуса, вершима которого находится в точке , а направляющей служит парабола

Пользуясь преобразованием координат, привести полученные уравнения к каноническому виду. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Пусть — произвольная точка поверхности конуса и - такая точка направляющей, что точка М принадлежит образующей . Следовательно, координаты точки А удовлетворяют уравнениям направляющей

а координаты точки М — уравнениям образующей

Из трех соотношений

(2)

исключим два переменных .

Для этого выразим из соотношений (2) и подставим найденные для них выражения в соотношение (1):

или

откуда

(Заметим, что уравнения (3) и (4) не равносильны: наряду с точками, удовлетворяющими уравнению (3), полученному непосредственно из условия задачи, уравнению (4) удовлетворяют еще точки прямой

не получающиеся из условия задачи.)

Итак, уравнение искомого конуса имеет вид

Перенеся начало координат в вершину конуса, приведем его уравнение к виду

Применим к последнему уравнению формулы поворота системы координат вокруг оси на угол

Вставляя в уравнение (5) вместо их значения из формул (6), получим каноническое уравнение конуса

Задача 83. Найти направляющие векторы прямолинейных образующих однопюлостного гиперболоида

проходящих через точку гиперболоида .

Решение. Пусть — координаты искомых направляющих векторов. Тогда параметрические уравнения прямолинейных образующих, проходящих через точку будут

Так как каждая точка образующей принадлежит гиперболоиду, то, вставляя в его уравнение вместо их выражения из параметрических уравнений образующей, получим равенство, справедливое при всех значениях

или, раскрывая скобки и принимая во внимание, что точка принадлежит гиперболоиду, т. е. что

будем иметь

Последнее равенство справедливо при всех значениях t, что возможно лишь, когда оба коэффициента (при и при t) равны нулю:

Так как прямая, параллельная плоскости пересекает гиперболоид не более чем в двух точках, то для всякой прямолинейной образующей , и поэтому можно всегда положить

Тогда получим два уравнения для определения двух оставшихся координат и искомого вектора:

Для решения этой системы подвергнем гиперболоид аффинному преобразованию

и введем обозначения:

Тогда получим следующие уравнения для определения L и

и, кроме того, для координат будем иметь равенство

Далее, воспользуемся тождеством

Но так как

то из последнего тождества получаем

откуда

Вместе с уравнением

полученное равенство дает следующую систему уравнений для определения и М:

Решая ее, найдем

Вставляя в эти равенства вместо их значения из равенств (1), (2), получим

откуда получим окончательно выражения для координат направляющих векторов образующих, проходящих через точку гиперболоида:

Задача 84. Доказать, что параболоид вращения и круглый цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу. Большая ось этого эллипса лежит в плоскости, проходящей через оси цилиндра и параболоида, малая его ось перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Принимая за начало прямоугольной системы координат вершину параболоида, за ось г — ось параболоида, а за плоскость плоскость, проходящую через оси обеих поверхностей, мы можем уравнения параболоида и цилиндра написать соответственно в виде

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Это уравнение определяет плоскость, в которой лежат точки пересечения параболоида и цилиндра. Так как плоскость, не параллельная оси круглого цилиндра, пересекает его по эллипсу, то, значит, и линия пересечения рассматриваемых параболоида и цилиндра есть эллипс.

Проекция этого эллипса на плоскость есть окружность; плоскость, в которой лежит эллипс, параллельна оси у (это непосредственно следует из отсутствия в уравнении плоскости члена, содержащего у). Следовательно, линия пересечения плоскости эллипса и плоскости окружности, являющейся его проекцией, параллельна оси у. А так как малая ось эллипса параллельна линии пересечения секущей плоскости и плоскости, ортогональной к образующим цилиндра, то в рассматриваемом случае малая ось эллипса параллельна оси у.

Плоскость является плоскостью симметрии цилиндра, а плоскость, в которой лежит эллипс, к ней перпендикулярпа, следовательно, в нашем случае большая ось эллипса лежит в плоскости . Но плоскость проходит через оси параболоида и цилиндра.

Таким образом, доказано, что большая ось эллипса лежит в плоскости, проходящей через оси параболоида и цилиндра, а малая его ось перпендикулярна к этой плоскости.