§ 8. Правило Крамера для решений систем и уравнений с n неизвестными

Пусть дана система уравнений первой степени с неизвестными

с детерминантом системы

отличным от нуля.

Умножая обе части первого уравнения (1) на , обе части второго на , обе части на и складывая, получаем (на основании свойства 10° для столбцов)

Но в силу 9° коэффициент при есть , а в силу 9° правая часть есть детерминант матрицы, полученной из матрицы А заменой столбца столбцом свободных членов . Поэтому (и так как ) имеем

Итак, из (1) следует (3); если система уравнений (1) имеет решение, то это решение дается формулами (3) и, следовательно, единственно. Проверка, т. е. подстановка значений даваемых формулами (3), в уравнения (1), показывает (совершенно, как в § 4), что формулы (3) действительно дают решение системы (1).

Итак, доказана общая

Теорема 6. Если система уравнений (1) имеет детерминант (2), не равный нулю, то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам (3) (называемым «правилом Крамера»), В частности, система из однородных уравнений с неизвестными, имеющая детерчинант, не равный нулю, обладает единственным, а именно нулевым, решением.

Дальнейшее исследование систем линейных уравнений мы отложим до главы XIV.