§ 2. Инварианты многочлена второй степени

Пусть дан какой-нибудь многочлен второй степени от переменных

Обозначим через детерминант

т. е. дискриминант квадратичной формы .

При переходе от прямоугольной системы координат к новой прямоугольной системе координат многочлен переходит в многочлен

Так как общее преобразование координат сводится к переносу начала к переходу к новой координатной системе с тем же началом, то рассмотрим отдельно оба этих частных случая. Как мы знаем (гл. XV, § 2, (52) на стр. 370), при переносе начала, т. е. при преобразовании коэффициенты при старших членах многочлена остаются неизменными. Другими словами, остается неизменной матрица квадратичной формы , а значит, и ее дискриминант .

Если же новая координатная система имеет то же начало что и старая, то

причем (как мы видели в гл. XV, § 2, (8) на стр. 371) имеем

Теперь сформулируем два определения, из которых первое уже известно из главы VIII.

Определение 1. Общее (неоднородное) преобразование

называется ортогональным, если ортогональна его матрица

т. е. матрица, составленная из коэффициентов при переменных.

Определение 2. Пусть дана целая рациональная функция от коэффициентов многочлена

При произвольном ортогональном преобразовании (3) многочлен тождественно переходят в

Если при этом всегда, т. е. для любого ортогонального преобразования (3), при любом наборе значений

то функция J называется ортогональным инвариантом многочлена .

Примером ортогонального инварианта многочлена может служить

Точно так же ортогональным инвариантом является и функция

В самом деле, если преобразование (3) есть поворот координатного репера (на какой-то угол ), то из первой и третьей формул (3) § 1 (стр. 399) следует, что

Но функция S, очевидно, не меняется и при отражении

а также при переносе начала координат, следовательно, и при любом ортогональном преобразовании.

Докажем, наконец, инвариантность функции

Для этого наряду с многочленом рассмотрим квадратичную форму

а наряду с преобразованием (3) рассмотрим преобразование

При этом преобразовании квадратичная форма переходит в квадратичную форму

(где коэффициенты и т. д. те же, что и в многочлене ).

Дискриминант квадратичной формы есть наш детерминант

При преобразовании помножается на квадрат детерминанта этого преобразования, т. е. на

откуда и следует, что

Нами доказана

Теорема 1. Функции

от коэффициентов многочлена (1) являются ортогональными инвариантами этого многочлена.

Замечание 1. Из наших рассуждений следует: если многочлен удовлетворяет какому-нибудь из условий то при переходе к любой аффинной координатной системе он преобразуется в многочлен , удовлетворяющий тому же условию (потому что детерминанты построенные для , получаются соответственно из и умножением на положительное число — квадрат детерминанта преобразования).

При этом, если квадратичная форма старших членов многочлена является определенной (см. гл. XIII, § 5), то коэффициенты а значит, и их сумма сохраняют свой знак при любом невырожденном линейном преобразовании. Для неопределенной формы это не так.

Из теоремы 1 мы выведем сейчас такое фундаментальное Следствие. Если каким бы то ни было ортогональным преобразованием

мы привели форму

к каноническому виду

то коэффициенты и непременно являются корнями ного уравнения

В самом деле, из инвариантности и следует, что

т. е. что сумма чисел равна S, а их произведение равно это и значит, что сами эти числа суть корни уравнения (6). Уравнение (6) называется характеристическим уравнением квадрат тичной формы . Оно всегда имеет действительные корни, что сразу следует из того, что дискриминант уравнения (6) есть

Замечание 2. Этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда одновременно

Равенства (9) выражают условие, необходимое и достаточное, для того чтобы корни характеристического уравнения были равны между собою.

Мы знаем, что поворотом на угол (определяемым из формулы (5) § 1) квадратичная форма

преобразуется в причем всегда суть корни характеристического уравнения (6). Но если корни этого уравнения суть и то мы не знаем, какой из них есть коэффициент при (т. е. ), а какой — коэффициент при .

Считая, что корни и характеристического уравнения даны, найдем угол а, на который надо повернуть систему координат, чтобы форма перешла именно в (а не в Этот угол будет вместе с тем углом наклона новой оси абсцисс (оси ) к старой Для этого переписываем первые два равенства (3) из § 1:

Умножаем первое из этих равенств на , второе на и складываем. Получаем

т. е.

откуда

Это и есть угловой коэффициент новой оси абсцисс! Заметим, что если то форма <р уже имеет канонический вид и нет надобности ни в каком повороте системы координат.