§ 4. Неравенство Коши—Буняковского и его следствия. Углы

Чтобы идти дальше, нам понадобится следующее предложение: Для любых двух векторов u, v евклидова -мерного пространства имеет место неравенство

(1)

причем равенство получается, лишь если векторы и и v коллинеарны (т. е. один получается из другого умножением на некоторое число ).

Достаточно доказать это неравенство для векторов, отличных от нуля.

Предположим сначала, что Возьмем какой-нибудь ортонормальный базис и пусть

Тогда подлежащее доказательству неравенство (1) при превращается в

Но, очевидно,

причем в (2) равенство наступает, лишь когда для всех k, т. е. когда .

Так как то неравенство (2) в рассматриваемом частном случае совпадает с т. е. с неравенством (1), причем мы помним, что равенство получается лишь при .

Итак, в частном случае наше предложение доказано. Пусть теперь — какие угодно отличные от нуля векторы.

Тогда векторы имеют длину 1, так что для них

т.е. что и требовалось доказать.

Если при этом то для векторов имеем по доказанному, следует т. е. при Теорема Коши — Буняковского доказана.

Замечание 1. Пусть в евклидовом пространстве дан ортонормальный базис, так что Тогда и неравенство Коши — Буняковского превращается в арифметическое неравенство

верное для любых вещественных чисел

Определение 8. Величиной угла между двумя отличными от нуля векторами u, v в -мерном евклидовом пространстве называется число определенное условием

Из теоремы Коши — Буняковского следует, что угол (в пределах однозначно определен. При этом - векторы и и v перпендикулярны или ортогональны между собою) тогда и только тогда, когда

Теперь мы можем сказать, что оргонормальный базис в -мерном евклидовом пространстве есть просто система из попарно перпендикулярных (ортогональных) между собою ортов, т. е. векторов длины 1.

Из неравенства Коши — Буняковского легко вытекает так называемое «неравенство треугольника для векторов», а именно:

Для того чтобы его доказать, напишем тождество

(непосредственно вытекающее из билинейности и симметрии скалярного произведения, как функции от двух векторов).

Из (5) выводим, далее (пользуясь неравенством Коши — Буняковского),

т. е.

Мы уже заметили, что расстояние между двумя точками -мерного евклидова пространства удовлетворяет следующим условиям:

1° равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают.

2°

Имеет еще место так называемое неравенство треугольника (для точек), а именно: каковы бы ни были три точки А, В, С, всегда

3°

Для доказательства положим , тогда и мы имеем по формуле (4)

т. е.

Замечание 2. Из формулы (5) вытекает, что для двух взаимно перпендикулярных векторов u, v справедливо

В частности, если точки А, В, С определяют прямоугольный треугольник, т. е. если векторы и взаимно перпендикулярны (являются катетами треугольника ABC), то для его гипотенузы АС имеем и, следовательно (по формуле (6))

Это равенство (или эквивалентное ему равенство. ) выражает теорему Пифагора в -мерном евклидовом пространстве.