§ 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка

Очевидно, все мнимые эллипсоиды принадлежат классу мнимых овальных поверхностей, а все действительные эллипсоиды — классу действительных овальных поверхностей. Однополостные гиперболоиды, как мы только что видели, являются поверхностями класса КЗ; каждая поверхность второго порядка должна попасть в один из классов в частности, это относится к двуполостным гиперболоидам и параболоидам. Но и (двуполостные) гиперболоиды, и параболоиды суть действительные поверхности ранга поэтому каждая из этих поверхностей находится в одном из классов или К3.

Гиперболические параболоиды, имея действительные прямолинейные образующие, не могут находиться в классе значит, они содержатся в классе К3.

Наоборот, эллиптические параболоиды и двуполостные гиперболоиды лишены действительных прямолинейных образующих, им нет места в классе К3, и они попадают в класс

Итак, среди поверхностей пространства все действительные эллипсоиды, все двуполостные гиперболоиды и все эллиптические параболоиды после пополнения их несобственными точками оказываются действительными овальными поверхностями, т. е. образуют класс

Однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды являются кольцевидными поверхностями, они заполняют собою класс К3.

Переходим к поверхностям ранга 3. В пространстве это конусы, действительные и мнимые, а также всевозможные цилиндры второго порядка.

В проективном пространстве все эти поверхности попадают в классы При этом цилиндры над невырождающимися действительными кривыми второго порядка попадают в класс цилиндры мнимыми эллипсами содержатся в классе Итак, в проективном пространстве все цилиндрические поверхности становятся конусами; так как все образующие цилиндра параллельны между собою, то в проективном пространстве все образующие данного цилиндра проходят через одну и ту же несобственную точку — вершину той конической поверхности, в которую, по пополнении несобственными точками, превратится наш цилиндр.

Наконец, поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, находят в свое естественное место в классах Однако в классах содержатся, кроме того, поверхности, не представленные поверхностями второго порядка в (т. е. не получающиеся из них посредством пополнения их несобственными точками). Именно, в классе имеется поверхность, распадающаяся на пару плоскостей, из которых одна собственная, а другая несобственная, в классе имеется дважды взятая несобственная плоскость.

За исключением этих двух случаев, каждой поверхности второго порядка Г в проективном пространстве соответствует в вполне определенная поверхность второго порядка Г, а именно поверхность, состоящая из всех собственных точек поверхности Г. Для краткости мы часто будем называть поверхность Г «аффинной поверхностью» соответствующей поверхности Г.

Замечание 1. Результаты, изложенные в этом параграфе, могут быть получены и простым вычислением.

Покажем, что двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболоиды принадлежат к классу а гиперболические параболоиды — к классу К3.

Для этого перейдем в уравнении двуполостного гиперболоида

к однородным координатам; получим

Проективное преобразование

переводит эту поверхность в поверхность

т. е. в шаровую поверхность .

Переходим к параболоидам. Их уравнения

при переходе к однородным координатам превращаются в

Проективное преобразование

т. е.

переводит эти поверхности в поверхности

Первая из них — овальная, вторая — кольцевидная поверхность.

Покажем теперь непосредственным вычислением, что все цилиндры относятся к проективному классу конических поверхностей. Для гиперболического и эллиптического цилиндров

это сразу следует из того, что их уравнение после перехода к однородным координатам превращается в

соответственно в

Проективное преобразование

переводит поверхности (1), (2) соответственно в

т. е. (отбрасывая штрихи и умножая второе уравнение на —1) в

Случай цилиндра над мнимым эллипсом читатель разберет сам.

Наконец, параболический цилиндр в однородных координатах получает уравнение или после преобразования координат

уравнение . Это уравнение конической поверхности.

Переходим к проективно-аффинной классификации, т. е. к разбиению совокупности поверхностей второго порядка в проективном пространстве на классы поверхностей, эквивалентных между собою по отношению к проективно-аффинным преобразованиям (см. § 2).

По существу, проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка Г в совпадает с аффинной классификацией соответствующих аффинных поверхностей Г в . Если и две поверхности, принадлежащие к одному и тому же проективноаффинному классу в то соответствующие им поверхности и очевидно, аффинно эквивалентны. Однако если существует аффинное отображение А пространства переводящее поверхность в поверхность то при этом отображении направления, асимптотические для поверхности перейдут в направления, асимптотические для поверхности поэтому проективно-аффинное преобразование А, являющееся продолжением аффинного преобразования А на все пространство переводит несобственные точки поверхности в несобственные точки поверхности и отображает первую из этих двух поверхностей на вторую. Итак, две поверхности и проективного пространства тогда и только тогда принадлежат к одному и тому же проективно-аффинному классу, когда соответствующие аффинные поверхности принадлежат к и тому же аффинному классу.

Мы покажем, что проективно-аффинный класс поверхности второго порядка Г в проективном пространстве или (что то же) ффинный класс поверхности Г в полностью определяется проективным классом данной поверхности и проективным классом той кривой второго порядка, которая является пересечением данной поверхности с несобственной плоскостью.

Итак, посмотрим, по каким кривым поверхности различных проективно-аффинных классов пересекаются с несобственной плоскостью Заметим, прежде всего, следующее: мы видели, что если при данном проективном преобразовании пространства какая-нибудь плоскость отображается на некоторую плоскость , то это отображение плоскости на плоскость есть отображение проективное. В частности, производимое проективно-аффинным преобразованием преобразование несобственной плоскости вляется проективным преобразованием. Отсюда следует, что всякие две поверхности, принадлежащие к одному и тому же проективно-аффинному классу, пересекают несобственную плоскость по проективно эквивалентным кривым второго порядка. Поэтому для определения проективного класса кривых по которым несобственную плоскость пересекают кривые данного проективно-аффинного класса, достаточно взять какую-нибудь поверхность этого класса, например поверхность, задаваемую простейшим каноническим уравнением поверхностей данного класса. Этим уравнением будет для действительных конусов уравнение или, в однородных координатах,

для мнимых конусов или, в однородных координатах,

для эллипсоидов или, в однородных координатах,

Заметим, во-вторых, что, по сказанному в § 4, несобственные точки данной поверхности второго порядка совпадают с несобственными точками ее асимптотического конуса.

Как следует из простейших канонических уравнений конических поверхностей, действительный, соответственно мнимый, конус пересекается с несобственной плоскостью по действительному, соответственно по мнимому, овалу. В главе XIX, § 4, мы выяснили, каков конус асимптотических направлений поверхностей любого аффинного типа.

Конус асимптотических направлений эллипсоида является мнимым, а конус асимптотических направлений как двуполостного, так и однополостного гиперболоида — действительным конусом; конус асимп тотических направлений параболоида вырождается в пару различных плоскостей: действительных для гиперболического и мнимых сопряженных для эллиптического параболоида.

Итак, эллипсоид, как действительный, так и мнимый, пересекается с несобственной плоскостью по мнимому овалу. Гиперболоиды, как однополостный, так и двуполостный, пересекаются с несобственной плоскостью по действительному овалу. Параболоиды касаются несобственной плоскости по паре различных прямых: действительных в случае гиперболического, мнимых и сопряженных в случае эллиптического параболоида. Таким образом, в применении к невырождающимся поверхностям мы уже доказали наше основное утверждение: проективно-аффинный тип такой поверхности полностью определен ее проективным классом и проективным классом ее пересечения с несобственной плоскостью.

Переходим к поверхностям ранга 3. Мы уже видели, что действительный конус пересекается с несобственной плоскостью по действительному овалу, а мнимый — по мнимому.

Остаются цилиндры. Как мы видели в § 4 главы XIX, конус асимптотических направлений всякого цилиндра вырождается в пару плоскостей: действительных и различных для гиперболического цилиндра, мнимых и сопряженных для эллиптического. Конус асимптотических направлений параболического цилиндра вырождается в пару совпадающих плоскостей. В соответствии с этим все цилиндры дают в пересечении с несобственной плоскостью кривую, распадающуюся на пару прямых, другими словами, все цилиндры касаются несобственной плоскости; при этом гиперболические цилиндры касаются несобственной плоскости по паре различных действительных прямых, эллиптические — по паре мнимых сопряженных прямых, параболические цилиндры касаются несобственной плоскости по паре совпадающих прямых.

Чтобы наглядно представить себе всю картину, возьмем самый обыкновенный круглый конус и три плоскости проходящие через его вершину и расположенные следующим образом. Плоскость а пересекает конус по паре его образующих. На рис. 254, а плоскость а есть плоскость рисунка. Единственной действительной точкой конуса, лежащей в плоскости а, пусть является его вершина (рис. 254, б), так что плоскость а пересекает конус по паре мнимых сопряженных прямых.

Наконец, плоскость возьмем так, чтобы она касалась конуса по его образующей, которая, дважды взятая и является пересечением плоскости с нашим конусом (рис. 254, в). Представим себе теперь три проективных преобразования пространства переводящих соответственно плоскости в несобственную плоскость.

Рис. 254.

Каждое из этих преобразований превратит наш конус в цилиндрическую поверхность: преобразование А в гиперболический, преобразование А — в эллиптический, преобразование — в параболический цилиндр.

Переходим к поверхностям, распадающимся на пару плоскостей.

Пара различных действительных плоскостей соответственно записывается в однородных координатах в виде соответственно Пересечение с несобственной плоскостью есть в первом случае пара различных прямых

во втором — пара совпадающих прямых

Точно так же пара мнимых сопряженных плоскостей соответственно в пересечении с несобственной плоскостью дает в первом случае пару мнимых сопряженных прямых

во втором — пару совпадающих (действительных) прямых

Итак, выяснение вопроса о характере расположения поверхностей различных аффинных классов относительно несобственной плоскости закончено. Закончена и проективно-аффинная классификация поверхностей, так как из сделанного разбора всех представляющихся случаев вытекает, что аффинный класс каждой поверхности взаимно однозначно соответствует паре, состоящей из проективного типа данной поверхности и из проективного типа ее пересечения с несобственной плоскостью.

Заметим, что проективный класс пересечения поверхности данного аффинного класса с несобственной плоскостью легко установить и непосредственно, не обращаясь к конусу асимптотических направлений: достаточно взять простейшее уравнение поверхности данного аффинного класса для эллипсоида однополостного, соответственно двуполостного, гиперболоида для параболоидов перейти затем в этих уравнениях к однородным координатам и, наконец, положить .

Таким образом, получаются следующие кривые пересечения с несобственной плоскостью :

Уравнения цилиндров в однородных координатах записываются в виде

из уравнений видно, что пересечения с несобственной плоскостью дают: пару действительных прямых

пару мнимых прямых

пару совпадающих прямых

Итогом всего исследования является следующая таблица:

Таблица поверхностей второго порядка

А. Невырождающиеся поверхности (поверхности ранга 4)

Продолжение

Б. Поверхности ранга 3 (коиические и цилиндрические)

В. Поверхности проективного ранга 2 и 1 (пары плоскостей)