Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядкаОчевидно, все мнимые эллипсоиды принадлежат классу Гиперболические параболоиды, имея действительные прямолинейные образующие, не могут находиться в классе Наоборот, эллиптические параболоиды и двуполостные гиперболоиды лишены действительных прямолинейных образующих, им нет места в классе К3, и они попадают в класс Итак, среди поверхностей пространства Однополостные гиперболоиды и гиперболические параболоиды являются кольцевидными поверхностями, они заполняют собою класс К3. Переходим к поверхностям ранга 3. В пространстве В проективном пространстве Наконец, поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, находят в За исключением этих двух случаев, каждой поверхности второго порядка Г в проективном пространстве Замечание 1. Результаты, изложенные в этом параграфе, могут быть получены и простым вычислением. Покажем, что двуполостные гиперболоиды и эллиптические параболоиды принадлежат к классу Для этого перейдем в уравнении двуполостного гиперболоида
к однородным координатам; получим
Проективное преобразование
переводит эту поверхность в поверхность
т. е. в шаровую поверхность Переходим к параболоидам. Их уравнения
при переходе к однородным координатам превращаются в
Проективное преобразование
т. е.
переводит эти поверхности в поверхности
Первая из них — овальная, вторая — кольцевидная поверхность. Покажем теперь непосредственным вычислением, что все цилиндры относятся к проективному классу конических поверхностей. Для гиперболического и эллиптического цилиндров
это сразу следует из того, что их уравнение после перехода к однородным координатам превращается в
соответственно в
Проективное преобразование
переводит поверхности (1), (2) соответственно в
т. е. (отбрасывая штрихи и умножая второе уравнение на —1) в
Случай цилиндра над мнимым эллипсом читатель разберет сам. Наконец, параболический цилиндр
уравнение Переходим к проективно-аффинной классификации, т. е. к разбиению совокупности поверхностей второго порядка в проективном пространстве По существу, проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка Г в Мы покажем, что проективно-аффинный класс поверхности второго порядка Г в проективном пространстве Итак, посмотрим, по каким кривым поверхности различных проективно-аффинных классов пересекаются с несобственной плоскостью Заметим, прежде всего, следующее: мы видели, что если при данном проективном преобразовании пространства какая-нибудь плоскость
для мнимых конусов
для эллипсоидов
Заметим, во-вторых, что, по сказанному в § 4, несобственные точки данной поверхности второго порядка совпадают с несобственными точками ее асимптотического конуса. Как следует из простейших канонических уравнений Конус асимптотических направлений эллипсоида является мнимым, а конус асимптотических направлений как двуполостного, так и однополостного гиперболоида — действительным конусом; конус асимп тотических направлений параболоида вырождается в пару различных плоскостей: действительных для гиперболического и мнимых сопряженных для эллиптического параболоида. Итак, эллипсоид, как действительный, так и мнимый, пересекается с несобственной плоскостью по мнимому овалу. Гиперболоиды, как однополостный, так и двуполостный, пересекаются с несобственной плоскостью по действительному овалу. Параболоиды касаются несобственной плоскости по паре различных прямых: действительных в случае гиперболического, мнимых и сопряженных в случае эллиптического параболоида. Таким образом, в применении к невырождающимся поверхностям мы уже доказали наше основное утверждение: проективно-аффинный тип такой поверхности полностью определен ее проективным классом и проективным классом ее пересечения с несобственной плоскостью. Переходим к поверхностям ранга 3. Мы уже видели, что действительный конус пересекается с несобственной плоскостью по действительному овалу, а мнимый — по мнимому. Остаются цилиндры. Как мы видели в § 4 главы XIX, конус асимптотических направлений всякого цилиндра вырождается в пару плоскостей: действительных и различных для гиперболического цилиндра, мнимых и сопряженных для эллиптического. Конус асимптотических направлений параболического цилиндра вырождается в пару совпадающих плоскостей. В соответствии с этим все цилиндры дают в пересечении с несобственной плоскостью кривую, распадающуюся на пару прямых, другими словами, все цилиндры касаются несобственной плоскости; при этом гиперболические цилиндры касаются несобственной плоскости по паре различных действительных прямых, эллиптические — по паре мнимых сопряженных прямых, параболические цилиндры касаются несобственной плоскости по паре совпадающих прямых. Чтобы наглядно представить себе всю картину, возьмем самый обыкновенный круглый конус и три плоскости Наконец, плоскость
Рис. 254. Каждое из этих преобразований превратит наш конус в цилиндрическую поверхность: преобразование А в гиперболический, преобразование А — в эллиптический, преобразование Переходим к поверхностям, распадающимся на пару плоскостей. Пара различных действительных плоскостей
во втором — пара совпадающих прямых
Точно так же пара мнимых сопряженных плоскостей
во втором — пару совпадающих (действительных) прямых
Итак, выяснение вопроса о характере расположения поверхностей различных аффинных классов относительно несобственной плоскости закончено. Закончена и проективно-аффинная классификация поверхностей, так как из сделанного разбора всех представляющихся случаев вытекает, что аффинный класс каждой поверхности взаимно однозначно соответствует паре, состоящей из проективного типа данной поверхности и из проективного типа ее пересечения с несобственной плоскостью. Заметим, что проективный класс пересечения поверхности данного аффинного класса с несобственной плоскостью легко установить и непосредственно, не обращаясь к конусу асимптотических направлений: достаточно взять простейшее уравнение поверхности данного аффинного класса для эллипсоида Таким образом, получаются следующие кривые пересечения с несобственной плоскостью
Уравнения цилиндров в однородных координатах записываются в виде
из уравнений видно, что пересечения с несобственной плоскостью дают: пару действительных прямых
пару мнимых прямых
пару совпадающих прямых
Итогом всего исследования является следующая таблица: Таблица поверхностей второго порядка А. Невырождающиеся поверхности (поверхности ранга 4)
Продолжение Б. Поверхности ранга 3 (коиические и цилиндрические)
В. Поверхности проективного ранга 2 и 1 (пары плоскостей)
|
1 |
Оглавление
|