§ 3. Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве или на плоскости дана прямая d и на

ней направленный отрезок АВ. Даны два произвольных вещественных числа а и (3, из которых по крайней мере одно отлично от нуля.

По определению, данному в главе I, § 6 точка М делит отрезок АВ в отношении , если

Задача состоит в том, чтобы по данным а и § и по координатам точек А и В найти координаты точки М.

Лемма. Пусть на плоскости (соответственно в пространстве) даны две прямые d и d и прямая (соответственно плоскость) 6, не параллельная ни одной из прямых d, d.

Пусть А, В, М — произвольные три точки на прямой обозначим через А, В, Ж их проекции вдоль 6 на прямую d. Тогда

Доказательство леммы в случае плоскости и пространства, по существу, одно и то же.

Излагаем его в более сложном случае пространства.

Утверждение леммы очевидно, если (рис. 41). Пусть прямые d и d не параллельны между собою. Проводим через точку А

Рис. 41.

прямую d" (рис. 42), параллельную прямой d, и обозначим через и проекции точек В и М на прямую (вдоль плоскости ). Плоскость , определяемая прямыми d и , пересекает плоскость , проходящую через точку М параллельно плоскости , по прямой, проходящей через точки М и . Прямые ММ" и , лежащие в плоскости , параллельны между собою, так что по известной теореме элементарной геометрии

При этом, если точка М лежит внутри или вне отрезка АВ, то и точка будет лежать соответственно внутри или вне отрезка , так что в равенстве (1) можно отрезки считать направленными, т. е. написать пропорцию

Но , так что — и лемма доказана.

Рис. 42.

Если обозначить через проекции точек А, В, М на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что

Но (на оси ) имеем , так что

откуда

и аналогично

что дает во всех случаях определенную точку прямой, за исключением случая (когда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удаленную», точку нашей прямой).

При точка М будет серединой отрезка АВ, и для координат середины отрезка мы получаем следующие формулы:

Если и то, полагая — , можем переписать полученные формулы в виде