§ 3. Деление отрезка в данном отношении
Пусть в пространстве или на плоскости дана прямая d и на
ней направленный отрезок АВ. Даны два произвольных вещественных числа а и (3, из которых по крайней мере одно отлично от нуля.
По определению, данному в главе I, § 6 точка М делит отрезок АВ в отношении 
, если
Задача состоит в том, чтобы по данным а и § и по координатам точек А и В найти координаты точки М.
Лемма. Пусть на плоскости (соответственно в пространстве) даны две прямые d и d и прямая (соответственно плоскость) 6, не параллельная ни одной из прямых d, d.
Пусть А, В, М — произвольные три точки на прямой 
обозначим через А, В, Ж их проекции вдоль 6 на прямую d. Тогда
Доказательство леммы в случае плоскости и пространства, по существу, одно и то же.
Излагаем его в более сложном случае пространства.
Утверждение леммы очевидно, если 
(рис. 41). Пусть прямые d и d не параллельны между собою. Проводим через точку А
Рис. 41.
прямую d" (рис. 42), параллельную прямой d, и обозначим через 
и 
проекции точек В и М на прямую 
(вдоль плоскости 
). Плоскость 
, определяемая прямыми d и 
, пересекает плоскость 
, проходящую через точку М параллельно плоскости 
, по прямой, проходящей через точки М и 
. Прямые ММ" и 
, лежащие в плоскости 
, параллельны между собою, так что по известной теореме элементарной геометрии
При этом, если точка М лежит внутри или вне отрезка АВ, то и точка 
будет лежать соответственно внутри или вне отрезка 
, так что в равенстве (1) можно отрезки считать направленными, т. е. написать пропорцию
Но 
, так что — 
и лемма доказана.
Рис. 42.
Если обозначить через 
проекции точек А, В, М на ось абсцисс, то из этой леммы сразу следует, что
Но (на оси 
) имеем 
, так что
откуда
и аналогично
что дает во всех случаях определенную точку 
прямой, за исключением случая 
(когда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удаленную», точку нашей прямой).
При 
точка М будет серединой отрезка АВ, и для координат середины отрезка мы получаем следующие формулы:
Если 
и 
то, полагая — 
, можем переписать полученные формулы в виде
