§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису (при преобразовании переменных)

В пространстве с заданным базисом линейная функция записывается в виде линейной формы, а билинейная — в виде билинейной формы.

Чтобы задать линейную форму, достаточно задать набор ее коэффициентов для того чтобы задать билинейную (или квадратичную) форму, надо задать ее матрицу

Мы выяснили в § 1, как преобразуется набор коэффициентов линейной формы при переходе от базиса к новому базису . Спрашивается: как при переходе от базиса к базису преобразуется матрица А билинейной формы? Мы сейчас дадим ответ на этот вопрос.

Теорема 2. Пусть билинейная функция записывается относительно базиса в виде билинейной формы

с матрицей А, а относительно базиса в виде билинейной формы

с матрицей А.

Пусть

Полагая

имеем

В этих обозначениях имеет место формула

(6)

где С, как всегда, есть транспонированная матрица к С (т. е. матрица коэффициентов в ).

Прежде чем доказать формулу (6), укажем на некоторые ее непосредственные следствия.

Так как , то

Таким образом, доказана

Теорема 3. При линейном преобразовании (5) дискриминант квадратичной формы для умножается на квадрат детерминанта матрицы преобразования (4) и, следовательно, сохраняет свой знак.

В частности, если преобразование С ортогонально, то , и, следовательно, при ортогональном преобразовании (5) дискриминант квадратичной формы не меняется.

Доказательство формулы (6). Возьмем матрицы

состоящие из одного столбца и строк.

Транспонированная к X матрица состоит из одной строки и столбцов:

Умножая матрицу А на матрицу , получим матрицу

состоящую снова из одного столбца и строк, а умножая X на матрицу AY, получим уже матрицу , состоящую из одной строки и одного столбца, т. е. из одного элемента

который есть не что иное, как наша билинейная форма

Итак, билинейная форма (изображающая функцию ) может быть записана в виде следующего произведения матриц:

Запишем преобразование (5) в виде матричного равенства:

т. е.

и, значит,

Подставим (10) и (11) в (9), получим тождество

Но в силу (9) с заменой А на матричное произведение

представляет собою билинейную форму от переменных с матрицей и

Так как матрица формы была обозначена через , то формула (6) доказана.

Подставляя в предыдущие формулы всюду и, следовательно, , получаем

Следствие. Пусть квадратичная функция , определенная в , записывается относительно базиса квадратичной формой с симметричной матрицей А:

а относительно базиса , — квадратичной формой с матрицей А:

причем переход от базиса к базису дается формулами (3). Тогда