§ 8. Бесконечно удаленная точка прямой

Остается устранить второе исключеиие: отсутствие на прямой точки М, для которой отношение равнялось бы —1. Для достижения этой цели мы пополняем прямую одной, как говорят, несобственной или бесконечно удаленной точкой . При этом мы считаем, что, пробегая точки прямой в определенном направлении (например, в направлении вектора т. е. «слева направо»), мы, придя в бесконечно удаленную точку, можем и дальше продолжать наш путь в же направлении, т. е. пробегать (все время слева направо) всю левую полупрямую, отсеченную точкой А, и вернуться таким образом в точку А слева.

Другими словами, после пополнения прямой бесконечно удаленной точкой порядок расположения точек на прямой стал таким же, как на окружности, — прямая стала замкнутой линией! Теперь две точки А и В прямой разбивают ее на два куска, на два «отрезка» с одними и теми же концами А и В. Один из них есть отрезок АВ в обычном смысле слова; он, в частности, содержит свою середину, т. е. точку М, для которой и, АМ , следовательно, : второй отрезок содержит бесконечно удаленную точку .

Мы определяем для нее отношение , полагая это отношение равным —1.

Теперь соответствие между всеми точками М нашей прямой и всеми отношениями ДМ: MB стало взаимно однозначным: точке В соответствует при этом отношение , а отношение —1 соответствует бесконечно удаленной точке прямой.

В главах I — XX этой книги понятие бесконечно удаленной точки на прямой не найдет применений и, следовательно, как бы повиснет в воздухе. Лишь в главах XXI — XXIII при переходе к так называемой проективной плоскости (и проективному пространству) понятие несобственной или бесконечно удаленной точки прямой найдет свое . См., впрочем, § 5 главы пятой.