§ 7. Диаметры кривой второго порядка

Рассмотрим все прямые, имеющие одно и то же неасимптотическое направление на каждой из этих прямых возьмем в качестве точки середину хорды, высекаемой из этой прямой кривой

Эти точки (координаты теперь уже переменные!) удовлетворяют уравнению (§ )

т. е.

которое, группируя по-новому его члены, переписываем в виде

Это уравнение есть уравнение некоторой прямой d, на которой и лежат середины всех хорд данного неасимптотического направления (рис. 173). Прямая d называется диаметром кривой (1), сопряженным направлению

Центр (или центры, если их много) кривой (1), очевидно, удовлетворяет уравнению (2), каково бы ни было направление и поэтому лежит на любом диаметре кривой (1).

Только что данное определение диаметра имеет силу для любой кривой второго порядка (как центральной, так и параболической).

При этом направляющим вектором диаметра, сопряженного направлению является вектор где .

Пусть теперь (1) - центральная кривая. Возьмем какую-нибудь прямую d неасимптотического направления, проходящую через единственный центр ) кривой (1); уравнение прямой d записывается в виде

где удовлетворяют уравнениям центра, т. е. уравнениям (6) предыдущего параграфа.

Рис. 173.

Мы ищем направление для которого прямая d была бы сопряженным диаметром, и решаем для этого уравнения

Уравнения эти решаются однозначно (так как по предположению ) и позволяют переписать (3) в виде

что представляет лишь другую запись уравнения (2).

В самом деле, переписываем (4) в виде

Но ввиду уравнений центра, которым удовлетворяют числа правая часть равенства (4) есть т. е. (4) принимает вид (2).

Итак, всякая прямая d неасимптотического направления, проходящая через (единственный) центр центральной кривой второго порядка, есть диаметр, сопряженный некоторому вполне определенному направлению

Посмотрим, что дает уравнение (2) в случае, когда направление асимптотическое. Тогда уравнение (2), тождественное уравнению (2), есть уравнение асимптоты (см. § 5, замечание). Таким образом, естественно считать асимптоту диаметром, сопряженным своему собственному направлению (хотя при этом первоначальный, наглядно геометрический смысл диаметра, сопряженного данному направлению, утрачивается, так как хорд асимптотического направления не существует).

Теперь диаметры центральной кривой второго порядка могут быть определены просто как прямые, проходящие через центр данной кривой.

Замечание. Из сказанного выше следует, что если направление данного диаметра неасимптотическое, то и направление, ему сопряженное, также неасимптотическое.