Прямая, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной или первой (или действительной) осью гиперболы. Прямая, проходящая через центр перпендикулярно к первой оси гиперболы, называется ее второй (или мнимой) осью.
Рис. 86.
Из рис. 86 ясно, что
Если
, то мы получаем точки М, для которых или
или
Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок
до всей прямой. Поэтому случай
рассматривать не будем. Предполагаем, что
. Как и в случае эллипса, число
называем эксцентриситетом гиперболы и обозначаем через
. Имеем
Пусть нам дана гипербола, т. е. даны ее фокусы
, а также числа а и с. Как и в случае эллипса, построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической (для данной гиперболы). Начало этой системы координат лежит в центре О гиперболы, ось абсцисс совпадает с фокальной осью гиперболы. За положительное направление оси абсцисс примем направление вектора
Тогда
.
Пусть
— произвольная точка гиперболы. Обозначим через
расстояния точки
соответственно до фокусов
и
. Числа
называются фокальными радиусами точки М.
Имеем
Точка
есть точка гиперболы тогда и только тогда, когда
или
Если принять во внимание равенства (1), то имеем (предполагая квадратные корни положительными)
Это уравнение и есть уравнение нашей гиперболы в выбранной системе координат.
Преобразуем уравнение (3) к виду, который называется каноническим. Для этого уединим первый радикал. Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получаем
или (после простых преобразований)
Обе части последнего равенства снова возведем в квадрат. Получим
или
Так как
, то число
положительно; обозначим его через
, считая
. Равенство (4) можно переписать в виде
или
Осталось показать, что уравнение (5) действительно есть уравнение нашей гиперболы: пока мы доказали лишь, что каждая точка
, удовлетворяющая уравнению (2), удовлетворяет и уравнению (5); как и в случае эллипса, еще надо доказать, что каждая точка
, удовлетворяющая уравнению (5), удовлетворяет и Уравнению (2).
Пусть
— произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (5). Найдем фокальные радиусы
точки М. Имеем
Из (5) находим (помня, что
)
Подставляя это выражение для
и учитывая, что —
, имеем
т. е.
Совершенно аналогично имеем
Так как
— положительные числа, то надо знак перед скобками выбрать так, чтобы и правые части равенств
и (62) были положительными. Для этого исследуем различные возможные случаи, представляемые равенствами (6 и (62). Из уравнения (5) находим прежде всего, что
. Поэтому имеем два основных случая: в зависимости от того, лежит ли точка
в правой полуплоскости
или в левой
. Так как
то в обоих случаях имеем
При
внутри скобки в
стоит положительное число, поэтому скобку надо взять со знаком
, и мы получаем
Из (7) следует, что при
внутри скобки (62) стоит отрицательное число, скобку надо взять со знаком
, так что
Из
следует, что при
имеем
и точка
, удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе.
Пусть
из (7) следует, что теперь внутри скобки
стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять знак
, так что
Зато внутри скобки в (62) стоит теперь число положительное, значит,
Имеем
Итак, во всех случаях всякая точка, удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе — мы доказали, что уравнение (5) действительно является уравнением нашей гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Формулы (I), (II) линейно выражают фокальные радиусы любой точки гиперболы через ее абсциссу.
Заметив, что
, получаем
Из уравнения (5) вытекает (как и в случае эллипса), что обе оси гиперболы являются ее осями симметрии, а центр гиперболы есть ее центр симметрии.
Переписывая уравнение гиперболы (5) в виде
и замечая, что его левая часть всегда
, видим, что для точек гиперболы должно быть
, т. е.
.
Другими словами, в полосе -
, ограниченной прямыми
(на рис. 87 эта полоса заштриховала), в частности на второй оси
, не содержится точек гиперболы: все они лежат или вправо от прямой
, или влево от прямой
, кроме двух точек
лежащих на самих этих прямых и являющихся точками пересечения гиперболы с ее фокальной осью. Эти две точки называются вершинами гиперболы.
Рис. 87.
Итак, гипербола распадается на две ветви: «правую», для точек которой абсцисса
, и «левую», для точек которой
.
Чтобы ближе познакомиться с общим видом гиперболы, надо определить прямые, называемые ее асимптотами.