Прямая, на которой лежат фокусы гиперболы, называется фокальной или первой (или действительной) осью гиперболы. Прямая, проходящая через центр перпендикулярно к первой оси гиперболы, называется ее второй (или мнимой) осью.
Рис. 86.
Из рис. 86 ясно, что
Если 
, то мы получаем точки М, для которых или
или
Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок 
до всей прямой. Поэтому случай 
рассматривать не будем. Предполагаем, что 
. Как и в случае эллипса, число 
называем эксцентриситетом гиперболы и обозначаем через 
. Имеем
Пусть нам дана гипербола, т. е. даны ее фокусы 
, а также числа а и с. Как и в случае эллипса, построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической (для данной гиперболы). Начало этой системы координат лежит в центре О гиперболы, ось абсцисс совпадает с фокальной осью гиперболы. За положительное направление оси абсцисс примем направление вектора 
Тогда 
.
Пусть 
— произвольная точка гиперболы. Обозначим через 
расстояния точки 
соответственно до фокусов 
и 
. Числа 
называются фокальными радиусами точки М.
Имеем
Точка 
есть точка гиперболы тогда и только тогда, когда
или
Если принять во внимание равенства (1), то имеем (предполагая квадратные корни положительными)
Это уравнение и есть уравнение нашей гиперболы в выбранной системе координат.
Преобразуем уравнение (3) к виду, который называется каноническим. Для этого уединим первый радикал. Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получаем
или (после простых преобразований)
Обе части последнего равенства снова возведем в квадрат. Получим
или
Так как 
, то число 
положительно; обозначим его через 
, считая 
. Равенство (4) можно переписать в виде
или
Осталось показать, что уравнение (5) действительно есть уравнение нашей гиперболы: пока мы доказали лишь, что каждая точка 
, удовлетворяющая уравнению (2), удовлетворяет и уравнению (5); как и в случае эллипса, еще надо доказать, что каждая точка 
, удовлетворяющая уравнению (5), удовлетворяет и Уравнению (2).
Пусть 
— произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (5). Найдем фокальные радиусы 
точки М. Имеем
Из (5) находим (помня, что 
)
Подставляя это выражение для 
и учитывая, что — 
, имеем
т. е.
Совершенно аналогично имеем
Так как 
— положительные числа, то надо знак перед скобками выбрать так, чтобы и правые части равенств 
и (62) были положительными. Для этого исследуем различные возможные случаи, представляемые равенствами (6 и (62). Из уравнения (5) находим прежде всего, что 
. Поэтому имеем два основных случая: в зависимости от того, лежит ли точка 
в правой полуплоскости 
или в левой 
. Так как 
то в обоих случаях имеем
При 
внутри скобки в 
стоит положительное число, поэтому скобку надо взять со знаком 
, и мы получаем
Из (7) следует, что при 
внутри скобки (62) стоит отрицательное число, скобку надо взять со знаком 
, так что
Из 
следует, что при 
имеем
и точка 
, удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе.
Пусть 
из (7) следует, что теперь внутри скобки 
стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять знак 
, так что
Зато внутри скобки в (62) стоит теперь число положительное, значит,
Имеем
Итак, во всех случаях всякая точка, удовлетворяющая уравнению (5), лежит на гиперболе — мы доказали, что уравнение (5) действительно является уравнением нашей гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Формулы (I), (II) линейно выражают фокальные радиусы любой точки гиперболы через ее абсциссу.
Заметив, что 
, получаем
Из уравнения (5) вытекает (как и в случае эллипса), что обе оси гиперболы являются ее осями симметрии, а центр гиперболы есть ее центр симметрии.
Переписывая уравнение гиперболы (5) в виде
и замечая, что его левая часть всегда 
, видим, что для точек гиперболы должно быть 
, т. е. 
.
Другими словами, в полосе - 
, ограниченной прямыми 
(на рис. 87 эта полоса заштриховала), в частности на второй оси 
, не содержится точек гиперболы: все они лежат или вправо от прямой 
, или влево от прямой 
, кроме двух точек 
лежащих на самих этих прямых и являющихся точками пересечения гиперболы с ее фокальной осью. Эти две точки называются вершинами гиперболы.
Рис. 87.
Итак, гипербола распадается на две ветви: «правую», для точек которой абсцисса 
, и «левую», для точек которой 
.
Чтобы ближе познакомиться с общим видом гиперболы, надо определить прямые, называемые ее асимптотами.
(рис. 86) есть положигельная постоянная. Эту постоянную обозначим через 
. Число а будем называть первой полуосью гиперболы. Точки 
называются фокусами гиперболы. Расстояние между ними обозначается через 
и называется фокусным расстоянием. Как и в случае эллипса, середина отреэка 
называется центром гиперболы.
