§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью

Пусть даны поверхность второго порядка и плоскость. Перейдем к такой системе координат , в которой данная плоскость была бы плоскостью т. е. имела бы уравнение

Запишем в этой системе координат уравнение нашей поверхности:

и будем решать его совместно с уравнением

Получим уравнение

Этому уравнению и удовлетворяют точки, одновременно лежащие на поверхности (1) и на плоскости (2). Мы видим, что, вообще говоря (т. е. за исключением особого случая который мы сейчас отдельно разберем), уравнение (3) есть уравнение второй степени, определяющее некоторую (лежащую в плоскости кривую второго порядка, которая и является пересечением данной поверхности второго порядка с данной плоскостью. Переходим к случаю

Предположим, что по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

В этом случае пересечение поверхности (1) с плоскостью есть прямая

Пусть теперь не только но и

Если при этом и то уравнение поверхности (1) имеет вид

— поверхность распадается на пару плоскостей:

одной из которых является данная плоскость Наконец, последняя возможность состоит в том, что

Тогда уравнение (3) приводит к противоречию: (тогда как дано, что а означающему, что нет ни одной точки (ни вещественной, ни мнимой), которая лежала бы одновременно на данной плоскости и на данной поверхности второго порядка.

Итак, доказана

Теорема 1. При пересечении поверхности второго порядка с плоскостью могут представляться лишь следующие случаи:

(а) поверхность пересекается с плоскостью по кривой второго порядка;

(б) поверхность пересекается с плоскостью по (вещественной) прямой линии;

(в) поверхность распадается на пару плоскостей, одной из которых является данная плоскость (входящая, таким образом, в состав рассматриваемой поверхности);

(г) поверхность не имеет с плоскостью ни одной общей точки (ни вещественной, ни мнимой).

Замечание. В случае (а) кривой второго порядка, являющейся пересечением данной поверхности второго порядка с данной плоскостью, может быть (а нераспадающаяся действительная или мнимая кривая, т. е. эллипс (действительный или мнимый), гипербола или парабола;

Рис. 224.

() пара пересекающихся вещественных прямых;

() пара мнимых сопряженных прямых, имеющих единственную вещественную (общую) точку, которая и является единственной вещественной точкой, лежащей одновременно на данной поверхности второго порядка и данной плоскости;

() пара параллельных в собственном смысле вещественных или мнимых сопряженных прямых;

() пара совпадающих вещественных прямых.

Как мы увидим ниже, возможности характеризуют различные случаи касания данной поверхности второго порядка с плоскостью (рис. 224).