Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА; УГЛЫ ЭЙЛЕРА; ОБЪЕМ ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА; ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ§ 1. Ориентация пространства (плоскости)Назовем в пространстве (или на плоскости) два координатных базиса (два репера) одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант; в противном случае (т. е. если детерминант матрицы перехода отрицателен) назовем базисы разноименными. В случае ортогональных базисов на плоскости это определение и его геометрический смысл нам уже известны из § 3 главы VIII. Одноименность двух базисов Покажем, что данное определение одноименности удовлетворяет так называемым аксиомам равенства, т. е. требованиям рефлексивности Рефлексивность вытекает из того, что матрица перехода от базиса Симметрия вытекает из того, что детерминанты матрицы С и обратной к ней матрицы
Если обозначить матрицы перехода от I к II, от II к III и от I к III соответственно через Из сказанного следует: Множество всех базисов пространства (плоскости) распадается на попарно не пересекающиеся классы, обладающие тем свойством, что все базисы, принадлежащие одному какому-нибудь классу, одноименны, а всякие два базиса, принадлежащие различным классам, разноименны между собою. Докажем, что число этих классов равно двум. Для того чтобы убедиться, что имеется по крайней мере два класса, возьмем какой-нибудь базис
ее детерминант равен —1, значит, базисы Теперь мы покажем, что всякий базис В самом деле, матрица перехода от В каждом из двух классов базисов имеются ортогональные базисы. В самом деле, берем какой-нибудь ортогональный базис Два базиса, получающиеся один из другого одной транспозицией (т. е. перестановкой двух каких-либо из трех векторов, образующих данный базис), всегда разноименны. В самом деле, пусть базис
Тогда соответствующая матрица перехода
имеет детерминант —1. Поэтому два базиса, получающиеся один из другого произвольной перестановкой их векторов, одноименны, если эта перестановка четная, и разноименны, если перестановка нечетная: базисы
входят в один класс, а базисы
— в другой. Введем теперь следующее весьма важное определение. Скажем, что базис
так что все координаты
а при
Теперь предположим, кроме того, что базис Считая параметр t временем, изменяющимся от начального момента Имеет место следующее очевидное предложение. Если базис Далее, если базис
при Аналогичные предложения, разумеется, верны и для деформации реперов. Замечание. Обычно за отрезок Если рассматривать (как это привычно читателю из элементарного курса механики) движение твердого тела в пространстве как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (положим, от
и аналогично
Тогда непрерывность процесса перемещения и находит свое математическое выражение в том, что координаты
Докажем следующее основное предложение: 1а. Если базис В самом деле, положим
надо доказать, что числа Теперь мы докажем обратное предложение: 16. Всякие два одноименных базиса (репера) могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией. План доказательства таков. Мы сначала доказываем, что всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в прямоугольный. После этого доказываем, что всякие два одноименных прямоугольных репера могут быть переведены друг в друга движением в пространстве, т. е. специальным видом непрерывной деформации. Предположим, что мы доказали оба эти факта. Пусть Переводим теперь непрерывными деформациями последовательно
(последнее возможно: раз существует деформация, переводящая
Рис. 104. Переходим к выполнению намеченного плана. Доказываем первое утверждение: всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в ортогональный. Докажем это утверждение сначала для плоскости. Пусть Поэтому векторы Переходим к случаю пространства. В плоскости
Рис. 105. В полной аналогии с предыдущим случаем обозначаем через Переходим к доказательству второго утверждения. Всякий прямоугольный репер Посредством сдвига на вектор ОО можно прежде всего совместить начала О и Этот поворот переведет орты
Рис. 106. Вместе с ним завершено доказательство и следующего результата (верного как для плоскости, так и для пространства). Теорема 1. Для того чтобы два репера (два базиса) были одноименны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было непрерывной деформацией перевести в другой. Если данные реперы прямоугольны, то их можно перевести друг в друга даже движением в пространстве. Если реперы разноименны, то их нельзя перевести друг в друга даже никакой деформацией, значит, и подавно никаким движением. Поэтому Теорема 1. Два прямоугольных репера (на плоскости или в пространстве) тогда и только тогда одноименны, когда один из них может быть переведен в другой непрерывным движением (в плоскости, соответственно в пространстве). Пусть Теорема 2. Если ортогональные реперы и Доказательство следующего замечания можно в качестве упражнения предоставить читателю. Замечание. 1. Беря зеркальные отражения етносительно произвольной плоскости всех базисов (реперов) одного какого-нибудь класса в пространстве, получим все базисы (реперы) другого класса. Аналогичный результат, разумеется, имеет место и в плоскости. Определение. Ориентировать плоскость или пространство — значит один из двух классов базисов (реперов) объявить положительным (а другой — отрицательным). Тогда и всякий базис (репер) называется положительным или отрицательным в зависимости от того, к какому классу он принадлежит. Для того чтобы ориентировать (плоскость или пространство), достаточно задать один какой-нибудь базис и объявить положительными все с ним одноименные базисы. Замечание 2. Если плоскость ориентирована, то в пей определяется и положительное направление вращения: это направление кратчайшего вращения т. е. вращения на угол из тех двух вращений (на Обратно, если на плоскости задано положительное направление вращения, то определена и ориентация плоскости: репер переводящий орт Таким образом, ориентация плоскости фактически совпадает с выбором положительного направления вращения. «Физическое», если так можно выразиться, осмысливание двух классов реперов на плоскости общеизвестно: назовем правым такой репер Левым назовем противоположно ориентированный репер (рис. 107, б) (в нем аналогичный поворот происходит по часовой стрелке). В пространстве репер
Рис. 107. Мы ориентируем пространство, объявляя в нем в качестве положительных, например, все правые реперы.
Рис. 108. Замечание 3. Можно ориентировать пространство, выбрав в нем ориентированную плоскость Очень важно следующее Замечание 4. Если пространство ориентировано и в нем дана направленная прямая d, то из двух направлений вращения пространства вокруг прямой d следующее направление объявляется положительным: берется положительный прямоугольный репер Имеет место и обратное предложение: 1) Можно ориентировать пространство, задав в нем направление вращения вокруг некоторой направленной прямой.
Рис. 109.
Рис. 110. 2) Можно ориентировать пространство, задав в нем ориентированную плоскость и одну (из двух) ее сторону (т. е. полупространство, на которые плоскость разбивает пространство). Замечание 5. Пусть в пространстве дан прямоугольный репер
Если выбранный репер правый, то каждое из названных вращений есть вращение против часовой стрелки (для зрителя, расположенного вдоль соответствующей оси ногами в начале, головой в конце орта этой оси).
|
1 |
Оглавление
|