Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующиеМы видели в предыдущем параграфе, что поверхность второго порядка
или содержит несобственную плоскость, или пересекается с нею по некоторой кривой второго порядка. Это частный случай следующего общего предложения. Теорема 5. В проективном пространстве произвольно данная плоскость либо пересекается с данной поверхностью второго порядка по кривой второго порядка (действительной, мнимой, быть может, распадающейся), либо целиком содержится в данной поверхности. Доказательство. Сделаем предварительно такое проективное преобразование при котором данная плоскость а перейдет в какую-нибудь координатную плоскость а, например в плоскость
Данная поверхность Г при этом перейдет в некоторую поверхность Г. Пусть уравнение поверхности Г есть
Решаем его совместно с уравнением
Если не все коэффициенты в этом уравнении равны нулю, то мы имеем уравнение кривой второго порядка, которая и является пересечением поверхности Г с плоскостью а. При проективном преобразовании
и поверхность Г есть пара плоскостей Теорема 6. В проективном пространстве Доказательство. Пусть уравнение поверхности Г есть
а параметрическое уравнение нашей прямой есть
Решаем совместно (2) и (1), т. е. подставляем (2) в (1). Получаем уравнение второй степени относительно
где, как легко видеть,
Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, то уравнение (3) есть уравнение второй степени; из него получается два значения (действительных, мнимых или совпадающих) для отношения Если все три коэффициента уравнения (3) суть нули, то условие для того, чтобы точка данной прямой содержалась в поверхности (1), оказывается выполненным тождественно, и вся прямая содержится в данной поверхности. Такая прямая называется прямолинейной образующей поверхности. Замечание 1. Каждый из случаев расположения прямой d относительно поверхности Г сохраняется при проективном преобразовании. Это значит следующее. Пусть при проективном преобразовании А поверхность Г и прямая d переходят соответственно в поверхность Г и прямую Если прямая d пересекается с поверхностью Г в двух различных (действительных или мнимых), либо в двух совпадающих точках, либо целиком содержится в поверхности Г, то таково же расположение прямой d относительно поверхности Г. Доказательство можно предоставить читателю. Посмотрим, когда прямая (2) пересекается с поверхностью (1) в двух совпадающих точках; такая прямая называется касательной прямой; обе совпавшие точки пересечения образуют точку касания прямой и поверхности. Без ограничения общности можем предположить, что точка
уравнение (3) превращается в
Одним из корней этого уравнения является
Всякая прямая (2), удовлетворяющая условию (4), есть касательная к поверхности (1) в точке
или, в развернутом виде,
т. е. заполняют плоскость, уравнением которой и является уравнение (4). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности Замечание 2. Из замечания 1 вытекает следующее: пусть плоскость Как и для кривых (см. гл. XXII, § 2), возникает вопрос: не может ли случиться, что всякая прямая, проходящая через точку
Всякая точка Если ранг R поверхности (1) наивысший, т. е. равен 4, то детерминант системы (5) отличен от нуля, система уравнений (5) не имеет ни одного ненулевого решения. Другими словами, невырождающиеся поверхности второго порядка особых точек не имеют. Если ранг R поверхности равен 3, то система (5) имеет (с точностью до постоянного множителя) единственное решение Если Все точки прямой Наконец, при Заметим, что, как и следовало ожидать, касательная плоскость к поверхности (1) в точке P этой поверхности тогда и только тогда перестает быть определенной, когда эта точка особая. В самом деле, в этом и только в этом случае все коэффициенты в уравнении (4) касательной плоскости обращаются в нуль. В частности, невырождающаяся поверхность во всякой своей точке имеет (единственную) касательную плоскость. Посмотрим, какие прямые, проходящие через данную неособую точку Итак, пересечение поверхности второго порядка с касательной плоскостью к ней в неособой точке P есть пара прямых, а именно пара прямолинейных образующих поверхности. Можно убедиться в этом и другим способом. Пусть пересечение поверхности (1) с касательной плоскостью Обратно, если какая-нибудь плоскость 0, проходящая через неособую точку P поверхности (1), пересекается с этой поверхностью по паре прямых Возьмем какие-нибудь две различные прямые d и d, лежащие в плоскости Теорема 71). Касательная плоскость к поверхности второго порядка (1) в данной ее неособой точке P может быть определена как единственная плоскость, проходящая через точку P и пересекающаяся с поверхностью (1) по паре прямых d, d, содержащих точку P. Так как каждая прямолинейная образующая поверхности, проходящая через данную ее (неособую) точку P, лежит в касательной плоскости в точке P, то прямые Докажем следующее предложение. Теорема 8. Касательная плоскость Доказательство. Произведем проективное преобразование, переводящее плоскость
а касательная плоскость в точке P к поверхности Уравнение плоскости
т. е.
Но эта плоскость есть плоскость
Решая его совместно с уравнением
а это есть уравнение кривой второго порядка ранга 2, т. е. распадающейся кривой. Если бы эта кривая была нарой совпадающих прямых, то дискриминант
был бы равен нулю. Но тогда дискриминант формы
т. е. поверхность Г, а значит и Г, была бы вырождающейся, вопреки предположению.
|
1 |
Оглавление
|