§ 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие

Мы видели в предыдущем параграфе, что поверхность второго порядка

или содержит несобственную плоскость, или пересекается с нею по некоторой кривой второго порядка.

Это частный случай следующего общего предложения. Теорема 5. В проективном пространстве произвольно данная плоскость либо пересекается с данной поверхностью второго порядка по кривой второго порядка (действительной, мнимой, быть может, распадающейся), либо целиком содержится в данной поверхности.

Доказательство. Сделаем предварительно такое проективное преобразование при котором данная плоскость а перейдет в какую-нибудь координатную плоскость а, например в плоскость

Данная поверхность Г при этом перейдет в некоторую поверхность Г.

Пусть уравнение поверхности Г есть

Решаем его совместно с уравнением плоскости а. Получаем в координатной плоскости (т. е. в плоскости ) уравнение

Если не все коэффициенты в этом уравнении равны нулю, то мы имеем уравнение кривой второго порядка, которая и является пересечением поверхности Г с плоскостью а. При проективном преобразовании обратном к сделанному преобразованию поверхность Г перейдет в Г, плоскость а — в плоскость а, а кривая их пересечения — в некоторую кривую второго порядка являющуюся пересечением поверхности Г с плоскостью а. Пусть теперь все коэффициенты в уравнении равны нулю. Тогда

и поверхность Г есть пара плоскостей одной из которых является плоскость т. е. наша плоскость а. Тогда плоскость а входит в состав поверхности (1). Теорема доказана.

Теорема 6. В проективном пространстве произвольная данная прямая d либо пересекается с данной поверхностью Г второго порядка в двух точках — различных (действительных или мнимых) или совпадающих (действительных) — или же целиком содержится в данной поверхности.

Доказательство. Пусть уравнение поверхности Г есть

а параметрическое уравнение нашей прямой есть

Решаем совместно (2) и (1), т. е. подставляем (2) в (1). Получаем уравнение второй степени относительно а именно:

где, как легко видеть,

Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля, то уравнение (3) есть уравнение второй степени; из него получается два значения (действительных, мнимых или совпадающих) для отношения , которые и определяют, будучи подставлены в (2), две точки пересечения нашей прямой с поверхностью (1).

Если все три коэффициента уравнения (3) суть нули, то условие для того, чтобы точка данной прямой содержалась в поверхности (1), оказывается выполненным тождественно, и вся прямая содержится в данной поверхности. Такая прямая называется прямолинейной образующей поверхности.

Замечание 1. Каждый из случаев расположения прямой d относительно поверхности Г сохраняется при проективном преобразовании. Это значит следующее. Пусть при проективном преобразовании А поверхность Г и прямая d переходят соответственно в поверхность Г и прямую

Если прямая d пересекается с поверхностью Г в двух различных (действительных или мнимых), либо в двух совпадающих точках, либо целиком содержится в поверхности Г, то таково же расположение прямой d относительно поверхности Г. Доказательство можно предоставить читателю.

Посмотрим, когда прямая (2) пересекается с поверхностью (1) в двух совпадающих точках; такая прямая называется касательной прямой; обе совпавшие точки пересечения образуют точку касания прямой и поверхности.

Без ограничения общности можем предположить, что точка нашей прямой лежит на поверхности и, следовательно, является точкой касания, а точка не лежит на поверхности. Тогда

уравнение (3) превращается в

Одним из корней этого уравнения является т. е. отношение а второй корень есть где Чтобы и второй корень был нулевой, надо, чтобы было , т. е.

Всякая прямая (2), удовлетворяющая условию (4), есть касательная к поверхности (1) в точке за Q может быть принята любая точка любой ее через вместо мы видим, что все точки всех касательных к поверхности (1) в точке P этой поверхности удовлетворяют уравнению

или, в развернутом виде,

т. е. заполняют плоскость, уравнением которой и является уравнение (4). Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в ее точке

Замечание 2. Из замечания 1 вытекает следующее: пусть плоскость есть касательная плоскость к поверхности второго порядка Г в ее точке P. Пусть при данном проективном преобразовании пространства поверхность Г, ее точка P и плоскость переходят соответственно в поверхность Г, ее точку P и плоскость . Тогда плоскость есть касательная к поверхности Г в точке P.

Как и для кривых (см. гл. XXII, § 2), возникает вопрос: не может ли случиться, что всякая прямая, проходящая через точку поверхности (1), либо пересекает эту поверхность в двух совпадающих точках, либо целиком содержится в поверхности (1) (т. е. является ее )? Очевидно, это происходит тогда и только тогда, когда уравнение (4) удовлетворяется координатами любой точки пространства, т. е. при любых значениях . А это в свою очередь имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты уравнения (4) равны нулю, т. е. одновременно выполнены тождества:

Всякая точка удовлетворяющая системе равенств (5), называется особой или двойной точкой поверхности (1).

Если ранг R поверхности (1) наивысший, т. е. равен 4, то детерминант системы (5) отличен от нуля, система уравнений (5) не имеет ни одного ненулевого решения. Другими словами, невырождающиеся поверхности второго порядка особых точек не имеют.

Если ранг R поверхности равен 3, то система (5) имеет (с точностью до постоянного множителя) единственное решение т. е. поверхность (1) имеет единственную особую точку P; такой точкой является вершина конической поверхности; мы к этому вернемся в § 7.

Если то система (5) имеет два независимых решения: все остальные решения являются линейными комбинациями этих двух.

Все точки прямой где и только точки этой прямой являются особыми. Это случай поверхности, распадающейся на пару различных плоскостей; прямая пересечения этих плоскостей и является множеством особых точек поверхности.

Наконец, при поверхность (1) есть пара слившихся плоскостей, все ее точки особые.

Заметим, что, как и следовало ожидать, касательная плоскость к поверхности (1) в точке P этой поверхности тогда и только тогда перестает быть определенной, когда эта точка особая. В самом деле, в этом и только в этом случае все коэффициенты в уравнении (4) касательной плоскости обращаются в нуль.

В частности, невырождающаяся поверхность во всякой своей точке имеет (единственную) касательную плоскость.

Посмотрим, какие прямые, проходящие через данную неособую точку поверхности (1), являются прямолинейными образующими нашей поверхности. Это те прямые, для которых все три коэффициента А, В, С в уравнении (3) равны нулю. Равенство не означает ничего большего, как то, что точка P лежит на поверхности (1). Равенство означает, как мы видели, что прямая (2) лежит в касательной плоскости в точке P к поверхности (1). Таким образом, прямолинейные образующие поверхности (1) лежат в касательной плоскости к поверхности (1). Кроме того, по самому своему определению прямолинейные образующие содержатся в поверхности (1). Другими словами, прямолинейные образующие поверхности (1), проходящие через точку Р поверхности, содержатся в пересечении поверхности с касательной плоскостью к ней в точке P. Но пересечение нераспадающейся поверхности второго порядка с плоскостью есть кривая второго порядка; если эта кривая содержит прямые линии, то она сама есть пара прямых.

Итак, пересечение поверхности второго порядка с касательной плоскостью к ней в неособой точке P есть пара прямых, а именно пара прямолинейных образующих поверхности. Можно убедиться в этом и другим способом. Пусть пересечение поверхности (1) с касательной плоскостью в точке P есть кривая второго порядка . Тогда всякая прямая d, проходящая через точку P и лежащая в плоскости будучи касательной к поверхности (1), пересекает эту последнюю в паре совпадающих точек, а именно точек, совпадающих с точкой P. Но эта пара совпадающих точек есть вместе с тем и пара точек пересечения прямой d с кривой Таким образом, точка P есть особая точка кривой и кривая есть распадающаяся кривая.

Обратно, если какая-нибудь плоскость 0, проходящая через неособую точку P поверхности (1), пересекается с этой поверхностью по паре прямых (быть может, сливающихся между собою, но имеющих точку P своею общей точкой), то плоскость 0 есть касательная плоскость к поверхности (1) в точке P. В самом деле, всякая прямая d, проходящая через точку P и лежащая в плоскости , пересекает распадающуюся линию , а значит, и поверхность (1) по паре слившихся точек, т. е. является касательной прямой к поверхности (1) в точке P.

Возьмем какие-нибудь две различные прямые d и d, лежащие в плоскости и проходящие через точку P. Обе эти прямые, будучи касательными к поверхности (1), лежат в касательной плоскости к ней в точке P; значит, плоскости , содержа одну и ту же пару пересекающихся прямых, совпадают между собою; 0 есть касательная плоскость. Итак:

Теорема 71). Касательная плоскость к поверхности второго порядка (1) в данной ее неособой точке P может быть определена как единственная плоскость, проходящая через точку P и пересекающаяся с поверхностью (1) по паре прямых d, d, содержащих точку P.

Так как каждая прямолинейная образующая поверхности, проходящая через данную ее (неособую) точку P, лежит в касательной плоскости в точке P, то прямые и являются (единственными) проходящими через точку P прямолинейными образующими поверхности (1). Может случиться, что эти прямые сливаются между собою; это имеет место, если поверхность (1) коническая, а P — ее неособая точка.

Докажем следующее предложение.

Теорема 8. Касательная плоскость к невырождающейся поверхности второго порядка Г пересекает ее по паре действительных или мнимых (но всегда различных) прямых.

Доказательство. Произведем проективное преобразование, переводящее плоскость в плоскость а точку P — в точку этой плоскости. При этом преобразовании поверхность Г перейдет в некоторую поверхность Г, уравнение поверхности Г пусть будет

а касательная плоскость в точке P к поверхности перейдет в касательную плоскость к поверхности Г в точке .

Уравнение плоскости будет

т. е.

Но эта плоскость есть плоскость следовательно, в уравнении (6) коэффициенты при суть нули, а Значит, уравнение имеет вид

Решая его совместно с уравнением касательной плоскости, получаем уравнение кривой пересечения в виде

а это есть уравнение кривой второго порядка ранга 2, т. е. распадающейся кривой.

Если бы эта кривая была нарой совпадающих прямых, то дискриминант

был бы равен нулю. Но тогда дискриминант формы был бы

т. е. поверхность Г, а значит и Г, была бы вырождающейся, вопреки предположению.