§ 4. Сложение векторов на прямой

Пусть на прямой даны два вектора; предположим сначала, что начало второго вектора совпадает с концом первого, так что первый вектор есть вектор АВ, а второй ВС.

Тогда — при любом взаимном расположении точек А, В, С — вектор АС называется суммой векторов АВ и ВС:

При этом мы считаем себя вправе заменить вектор АС любым равным ему вектором, так что всякий вектор PQ, равный вектору АС, равен сумме АВ+ВС.

Пусть теперь АВ и - два произвольных вектора на прямой. Возьмем вектор ВС, ранный вектору MN, но имеющий своим началом точку В (вектор MN можно преобразовать в вектор ВС посредством скольжения вдоль прямой). Тогда вектор АС и всякий равный ему вектор мы считаем суммой векторов АВ и .

Из определения сложения векторов на прямой и из леммы Шаля читатель без труда выведет следующее предложение.

6. Координата (на данной оси) суммы двух векторов равна сумме координат этих векторов.

Отсюда (имея в виду предложение 1) или из самого определения суммы векторов легко выводится:

7. Если и , то .

Из предложений 4 и 6 вытекает, далее,

8. .