§ 5. Пучок плоскостей

Содержание этого параграфа вполне аналогично содержанию § 5 главы V: мы введем здесь понятие пучка плоскостей, которое, в частности, позволит решить задачу о нахождении всех плоскостей, проходящих через прямую пересечения двух данных плоскостей.

Рис. 122.

Прежде всего мы скажем, что плоскость

есть линейная комбинация плоскостей

и

если уравнение (1) есть линейная комбинация уравнений (2) и (3), т. е. если найдутся такие и , что имеет место тождество

Из тождества (4) следует, что всякая точка ), удовлетворяющая обоим уравнениям (2) и (3), удовлетворяет и уравнению (1) — всякая точка, принадлежащая обеим плоскостям (2) и (3), принадлежит и плоскости (1). Другими словами:

Плоскость, являющаяся линейной комбинацией двух данных пересекающихся плоскостей (2) и (3), проходит через прямую пересечения этих плоскостей. Докажем, что и, обратно, всякая плоскость (1), проходящая через прямую пересечения d двух данных плоскостей (2) и (3), является лннейпой комбинацией этих плоскостей.

Без ограничения общности можем предположить, что плоскость (1) не совпадает ни с одной из плоскостей (2) и (3). Доказательство совершенно такое же, как в случае прямых (гл. V, § 5).

Плоскость, проходящая через прямую d, будет полностью определена, если мы укажем какую-нибудь ее точку (рис. 122), не лежащую на прямой d.

Возьмем же такую точку на нашей плоскости (1) и напишем уравнение с двумя неизвестными и :

Так как по предположению точка не лежит на прямой d, то хотя бы одна из скобок в левой части уравнения (5) отлична от нуля; из этого уравнения (5) однозначно определяется отношение

Пусть теперь и какие-нибудь числа, удовлетворяющие пропорции (6). Тогда выполнено и равенство (5), означающее, что точка лежит на плоскости

Но эта плоскость, будучи линейной комбинацией плоскостей (2) и (3), проходит через прямую d и содержит точку , принадлежащую плоскости (-значит, плоскость (1) совпадает с плоскостью (7) и является линейной комбинацией плоскостей (2) и (3). Утверждение доказано.

Итак, для того чтобы плоскость (1) проходила через прямую пересечения двух плоскостей (2) и (3), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1) было линейной комбинацией уравнений (2) и (3).

Пусть теперь плоскости (2) и (3) параллельны. Совершенно так же как и в § 5 главы V, мы убеждаемся в том, что всякая плоскость, являющаяся линейной комбинацией плоскостей (2) и (3), будет им параллельна и что, обратно, всякая плоскость, параллельная двум (параллельным между собою) плоскостям (2) и (3), является их линейной комбинацией.

Назовем совокупность всех плоскостей, проходящих через данную прямую d, собственным пучком плоскостей с осью назовем несобственным пучком плоскостей совокупность всех плоскостей, параллельных (в широком смысле слова) одной какой-нибудь плоскости. Наконец, назовем множество всех плоскостей, являющихся линейными комбинациями двух каких-нибудь плоскостей и , одномерным многообразием плоскостей, порожденным двумя своими элементами и . Мы доказали, что всякий пучок плоскостей (собственный или несобственный) является одномерным многообразием, порожденным любыми двумя своими элементами.

Обратно, всякое одномерное многообразие плоскостей (порожденное какими-нибудь двумя плоскостями и 62) есть пучок плоскостей — собственный, если плоскости и 62 пересекаются, несобственный, если они параллельны.

В главе XXIII этих «Лекций» мы построим проективное пространство, пополнив обычное пространство бесконечно удаленными (несобственными) точками таким образом, что совокупность этих бесконечно удаленных точек образует бесконечно удаленную (несобственную) плоскость;

Все прямые, лежащие в этой плоскости, также будут называться бесконечно удаленными или несобственными. Каждая «собственная» (т. е. обыкновенная) плоскость пространства пересекается с несобственной плоскостью по несобственной прямой — по единственной несобственной прямой данной собственной плоскости. При этом оказывается, что две собственные плоскости тогда и только тогда параллельны, когда они пересекаются по (своей общей) бесконечно удаленной прямой. Таким образом, в проективном пространстве различие между собственными и несобственными пучками плоскостей исчезает: несобственный пучок — это пучок плоскостей, осью которого является одна из несобственных прямых проективного пространства.