§ 2. Перенос начала координат

В аналитической геометрии основное значение имеет так называемая задача преобразования координат. Она заключается в следующем. Даны две системы координат (на плоскости или в пространстве) - «старая» и «новая». Требуется, зная координаты какой-нибудь точки или вектора в одной системе координат, найти координаты той же точки или вектора в другой системе. Этой задаче будут посвящены целые две главы этих лекций (главы VIII и IX), но простейший ее случай — так называемый перенос начала координат — мы рассмотрим уже сейчас.

Рис. 39.

Именно, предположим, что даны две координатные системы, у которых одни и те же единичные векторы , по разные начала О и , так что новая система координат получается из старой сдвигом на вектор (рис. 39). При этом даны координаты точки О относительно системы Мы уже знаем, что в этом случае координаты каждого вектора и в обеих системах одинаковы, потому что этими координатами являются координаты вектора и относительно одного и того же базиса , т. е. коэффициенты в представлении

Посмотрим, как связаны между собою координаты x, y, z произвольной точки М в обеих системах. Числа х, у, z суть координаты вектора ОМ (рис. 40), а числа x, у, z — координаты вектора ОМ (относительно того же базиса ). Но

причем для векторов (и базиса ) имеем

так что векторное равенство (1) равносильно совокупности трех числовых равенств:

Эти формулы и решают поставленную задачу.

В случае плоскости вместо трех равенств (2) получаем два: если координаты нового начала О относительно старой системы координат суть а, , так что в старой системе, то координаты , у произвольной точки М в старой системе выражаются через координаты той же точки в новой системе формулами:

Рис. 40.