Задачи к главе X

Задача 39. Найти отношение, в котором плоскость, проведенная через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, делит диагональ параллелепипеда, исходящую из той же вершины.

Решение. Примем три ребра параллелепипеда, исходящих из одной вершины О, за единичные векторы аффинной системы координат. Тогда уравнение плоскости, проходящей через концы ребер, будет

а уравнение диагонали исходящей из той же вершины, будет

Точка пересечения диагонали и плоскости будет начальная точка диагонали конец диагонали Следовав тельно,

Задача 40. Найти вектор v, являющийся ортогональной проекцией вектора на плоскость, заданную уравнением

(Система координат прямоугольная.)

Решение. Представим вектор и как сумму его проекции v на данную плоскость и вектора w, перпендикулярного к этой плоскости:

Так как вектор w ортогонален к данной плоскости, то он коллинеарен с вектором нормальным к данной плоскости. Поэтому

и

Но вектор v лежит в данной плоскости и, значит, нормален к , а потому

откуда

и, следовательно,

где

Задача 41. На писать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей

и образующей с плоскостью

угол (Система координат прямоугольная.)

Решение. Уравнение искомой плоскости можно записать в виде

или

По формуле для косинуса угла между двумя плоскостями находим!

или

откуда

Условию задачи удовлетворяют две плоскости:

Задача 42. Даны две прямые

Доказать, что эти прямые пересекаются, и написать уравнения биссектрисы тупого угла между ними. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор .

Чтобы установить, что данные прямые пересекаются, надо показать что они удовлетворяют условию компланарности двух прямых:

В рассматриваемом случае это условие принимает вид

следовательно, данные прямые пересекаются и система уравнений, определяющих данные прямые, совместна. Решая эту систему, найдем точку пересечения данных прямых .

Направляющие векторы данных прямых образуют острый угол, так как их скалярное произведение

Значит, векторы — образуют тупой угол.

Найдем единичные векторы имеющие соответственно те же направления, как векторы — . Имеем:

Вектор направлен по биссектрисе тупого угла, образованного данными прямыми (как диагональ ромба, построенного на векторах ). Найдем вектор

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять любой вектор коллинеарный с вектором Возьмем, например, вектор тогда уравнения биссектрисы тупого угла примут вид

Задача 43. Доказать, что три плоскости

образуют призму; иайти уравнения оси и радиус круглого цилиндра, вписанного в эту призму. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Так как три плоскости попарно пересекаются и не имеют общей точки, то они образуют призму.

Осью цилиндра будет линия пересечения биссекгорных плоскостей внутренних двугранных углов призмы.

Уравнение бнссекторной плоскости внутреннего двугранного угла призмы, образуемого первой и второй плоскостью, определяется одним из уравнений

Чтобы определить, с какими знаками нужно приравнивать дроби, стоящие в левой и правой частях этого уравнения, возьмем какую-нибудь точку на линии пересечения первой и третьей плоскостей, например точку и подставим ее координаты в левую часть уравнения второй плоскости. В результате получится отрицательное число; следовательно, подставляя координаты точек бнссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первой и второй плоскостями в левую часть уравнения второй плоскости, мы будем получать отрицательные числа.

Беря какую-нибудь точку на линии пересечения второй и третьей плоскостей, например точку и подставляя ее координаты в левую часть уравнения первой плоскости, получим положительное число; значит, положительным будет результат подстановки координат любой точки бнссекторной плоскости, лежащей внутри двугранного угла между первой и второй плоскостями. Таким образом, в уравнении бнссекторной плоскости перед дробями надо брать разные знаки. Следовательно уравнение биссекторной плоскости внутреннего двугранного угла между первой и второй плоскостями будет

Уравнение бнссекторной плоскости внутреннего двугранного угла призмы, определяемого первой и третьей плоскостями, будет

Упрощая найденные уравнения биссекторных плоскостей, получим уравнения оси цилиндра:

Возьмем на оси цилиндра произвольную точку, например (0, 2, 1), и найдем ее расстояние до какой-нибудь из гранен призмы. Это и будет радиус цилиндра