§ 4. Эллипс как проекция окружности и как сечение круглого цилиндра

Пусть даны две плоскости , пересекающиеся по некоторой прямой d (рис. 84). Острый угол между плоскостями обозначим через .

В плоскости дана окружность К радиуса а с центром О который (для удобства) предполагаем лежащим на прямой d Докажи что ортогональная проекция К окружности К на плоскость а есть эллипс.

Рис. 84.

Для доказательства берем в плоскостях по прямоугольной системе координат с общим началом О и общей осью абсцисс, идущей по прямой d. Оси ординат в плоскостях направляем так, чтобы угол между их ортами был равен углу .

Пусть М — произвольная точка окружности ; ее проекцию на плоскость а обозначим через . Угол наклона вектора ОМ (в плоскости ) к оси абсцисс обозначим через t.

Тогда для координат точки М на плоскости , обозначая через Q ортогональную проекцию точки М (и точки М) на ось абсцисс, имеем

Обозначая постоянную через b, имеем

т. e. параметрическую форму уравнения эллипса, которой, таким образом, и удовлетворяют координаты любой точки М нашей кривой К (определенной как проекция окружности К на плоскость а). Следовательно, кривая К есть эллипс, и наше утверждение доказано.

Рис. 85.

Всякий знает из опыта, что если резать колбасу «наискось», то полученные ломтики ее будут иметь форму эллипса.

Дадим строгое доказательство этому факту. Докажем, что сечение круглого цилиндра плоскостью, не параллельной оси цилиндра, есть эллипс.

Секущую плоскость обозначим через а, точку ее пересечения с осью цилиндра обозначим через О (рис. 85). Эту точку сделаем началом прямоугольной системы координат , ось ординат которой идет но прямой пересечения d плоскости а с плоскостью P, проходящей через точку О перпендикулярно к оси цилиндра. Обозначая через проекцию оси на плоскость , получаем в плоскости прямоугольную систему координат . Острый угол между плоскостями и P обозначаем через .

Плоскость P пересекает цилиндр по окружности К (являющейся ортогональной проекцией на плоскость интересующей нас кривой К — кривой пересечения цилиндра с плоскостью а).

Пусть — произвольная точка кривой проекция на плоскость (точка М лежит на окружности К радиуса ). Точки М и М лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости P; проводя через эту прямую плоскость, перпенднкулярную к оси , получим в пересечении с последней точку Q — проекцию на ось обеих точек М и . Угол наклона вектора ОМ к оси обозначим через t. Тогда имеем для координат , у точки М

Постоянную обозначаем через а, что при подстановке в (1) дает для координат произвольной точки М кривой К равенства

мы снова получили в качестве параметрического уравнения кривой К параметрическое уравнение эллипса. Теорема доказана.