§ 4. Преобразования подобия. Дальнейшие проблемы

Ортогональные преобразования характеризуются тем, что оставляют неизменной длину любого вектора. Их ближайшим и естественным обобщением являются преобразования подобия, т. е. линейные преобразования А, при которых длина каждого вектора и умножается на одно и то же положительное число :

Число называется при этом коэффициентом подобия. Для случая трехмерного пространства преобразования подобия рассматривались в главе XI.

Частным случаем преобразований подобия являются так называемые гомотетические преобразования (гомотетии) с коэффициентом , т. е. линейные преобразования вида

Таким образом, гомотетии суть линейные преобразования, для которых все векторы являются собственными с одним и тем же собственным значением (коэффициент гомотетии). Гомотетия называется также растяжением (или сжатием) пространства.

Очевидно, в любом базисе гомотетия с коэффициентом имеет матрицу

Как известно, матрица называется диагональной, если все ее отличные от нуля элементы расположены на главной диагонали. Диагональная матрица, у которой все лежащие на главной диагонали элементы равны между собою, называется скалярной. Таковой и является матрица

Докажем следующее предложение.

Теорема 7. Всякое подобное преобразование А с коэффициентом подобия является произведением растяжения с тем же коэффициентом и некоторого ортогонального преобразования при этом порядок множителей и безразличен.

В самом деле, имеем, очевидно,

Рассмотрим преобразование имеем для любого вектора и

так

откуда следует, что — ортогональное преобразование; из определения преобразования следует

что и требовалось доказать.

Естественным обобщением гомотетических преобразований являются преобразования А, матрица которых (в некоторой ортонормальной системе координат) есть диагональная матрица

Особенно наглядный геометрический смысл имеют среди этих преобразований А те, в матрице (1) которых все положительны. Можно сказать, что рассматриваемые преобразования А слагаются из растяжений вообще говоря, различными коэффициентами вдоль взаимно перпендикулярных направлений.

В самом деле, преобразование с матрицей (1) является, очевидно, произведением преобразований с матрицами

каждое из которых при естественно называть растяжением с коэффициентом , - вдоль оси координат, несущей вектор

Возникает вопрос: какие преобразования можно получить перемножением таких «многократных» растяжений и ортогонального преобразования? Ответ на этот вопрос очень сильный. Оказывается, все линейные (т. е. все аффинные) преобразования евклидовых пространств можно получить таким образом! Этот фундаментальный результат является непосредственным обобщением теоремы 13 главы XVII об аффинных отображениях плоскости. Он будет доказан в § 6; доказательство опирается на важные и интересные понятия и теоремы, которыми мы и займемся в следующем параграфе.