§ 4. Векторная и параметрическая форма уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть дана какая-нибудь точка и вектор , который считаем приложенным к точке :

Эти данные определяют прямую d как геометрическое место концов всевозможных векторов вида

где t пробегает все вещественные числовые значения. Вектор , очевидно, является направляющим вектором прямой d. Можно сказать, что наша прямая есть геометрическое место всех точек М, удовлетворяющих уравнению (1), а само это уравнение можно назвать уравнением прямой в векторной форме (или векторным уравнением прямой). Ясно, что каждая прямая может быть задана, таким образом, какой-нибудь своей точкой и (приложенным к этой точке) направляющим вектором .

Существенным преимуществом уравнения (1) является то, что оно позволяет задать прямую не только на плоскости, но и в пространстве: ведь все до сих пор сказанное в этом параграфе в равной мере относится и к прямой на плоскости, и к прямой в пространстве. Разница (и то очень несущественная) начнется лишь тогда, когда мы будем «расписывать» уравнение (1) по координатам входящих в него векторов . Этих координат будет в случае плоскости две, а в пространственном случае — три.

Если на плоскости раз навсегда дана точка О (начало координат), то уравнение (1) эквивалентно уравнению

которым часто тоже пользуются (в механике и физике) под названием векторного уравнения прямой.

Пусть сначала дело происходит в плоскости (снабженной некоторой аффинной системой координат (рис. 66)). Тогда вектор задан двумя своими координатами:

, а координаты переменной точки М суть х и у, то уравнение (1) записывается в виде системы двух уравнений:

Итак, наша прямая состоит из всех тех и только тех точек , координаты каждой из которых при некотором вещественном значении параметра t могут быть записаны в виде (2). Поэтому система уравнений (2) называется системой параметрических уравнений данной прямой или, короче, ее параметрическим уравнением (единственное число оправдано тем, что в действительности система двух уравнений (2) является лишь координатной записью одного уравнения .

Система уравнений (2) равносильна одной пропорции

которая часто называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

Рис. 66.

Если прямая задана двумя своими точками то ее направляющий вектор имеет координаты

и уравнение (3) превращается в

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .

Переходим к случаю, когда прямая d, определенная своей точкой и направляющим вектором , задается в пространстве, снабженном аффинной системой координат. Тогда

и уравнение (1) в координатной записи превращается в систему трех уравнений

Эта система равносильна пропорции

(теперь уже трехчленной), называемой каноническим уравнением прямой в пространстве. Не следует забывать, что пропорция (6) при подробной записи превращается не в одно, а в два уравнения, например в

третье уравнение является следствием первых двух, которым и удовлетворяют все точки прямой в пространстве.

Замечание. Если среди координат направляющего вектора одна какая-нибудь равна нулю, например , то вектор и прямая d параллельны координатной плоскости , это видно и из уравнения (5), где теперь для всех точек прямой d. Если одновременно две координаты направляющего вектора равны нулю, например , , то имеем в этом случае направляющий вектор , а значит, и наша прямая параллельна оси .

Если прямая в пространстве задается двумя своими точками , то для ее направляющего вектора имеем и пропорция (6) превращается в пропорцию

которая и определяет прямую (в пространстве), проходящую через две заданные точки.

Условие параллельности (в широком смысле) двух прямых, заданных их каноническими уравнениями

заключается в коллинеарности их направляющих векторов, т. е. в пропорции

Для совпадения прямых (6) и (6) необходимо и достаточно, чтобы кроме условия (8) выполнялось еще и условие

означающее требование, чтобы точка прямой (6) лежала на прямой (6) (или — что в данном случае равносильно — чтобы точка ) прямой (6) лежала на прямой .