§ 4. Разложение детерминанта третьего порядка по элементам какой-либо строки. Приложение к системе трех уравнений с тремя неизвестными (правило Крамера)

Возьмем в матрице А третьего порядка какой-либо элемент ; вычеркнем из матрицы А строку и столбец, содержащие элемент .

Оставшиеся элементы матрицы А образуют матрицу второго порядка, которую будем называть минором элемента матрице А. Детерминант минора элемента , умноженный на называется алгебраическим дополнением или адъюнктой элемента в матрице А (и в ее детерминанте . Так, в детерминанте

алгебраическими дополнениями элементов являются соответственно

Возьмем развернутую запись детерминанта:

или

где

Мы видим, что:

9° Каждый детерминант (третьего порядка) равняется сумме произведений элементов какой-либо своей строки (столбца) на адъюнкты этих элементов.

Это представление детерминанта называется его разложением по элементам данной строки (столбца).

Докажем, наконец, следующее свойство детерминантов:

10° Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.

Докажем, например, что

Для этого разложим по элементам первой строки детерминант

Утверждение доказано.

Теперь мы можем очень быстро изложить те приложения детерминантов третьего порядка к решению систем уравнений первой степени, которые и послужили началом их теории.

Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестнымн

Предположим, что детерминант системы (3), т. е. детерминант

отличен от нуля. Через обозначаем адъюнкту элемента этого детерминанта. Умножаем обе части первого уравнения (3) на , обе части второго — на , обе части третьего — на и складываем; получаем

Но в силу предложений 9° и 10° первая скобка в левой части равна , тогда как две другие скобки суть нули. Выражение справа есть детерминант матрицы

полученной, если в А заменить первый столбец столбцом свободных членов системы (3). Итак, уравнение (4) можно переписать так:

Точно так же, умножая обе части первого уравнения (3) на , второго — на , третьего — на и складывая, получаем

и аналогично

где суть матрицы, получающиеся, если в матрице А заменить второй, соответственно третий, столбец столбцом свободных членов. Так как , то из получаем:

Мы получили уравнении (6) как следствия уравнений (3) в предположении, что . Итак, если — в предположении — система (3) имеет решение, то это решение единственно дается равенствами (6). Остается проверить, что формулы (6) действительно дают решение системы (3).

Для этого (все время предполагая, что ) подставим выражения (6) в первое уравнение (3). Левая часть первого из этих уравнений превращается в

Но

Итак, левая часть первого из уравнений (3) после подстановки значений х, у, z из (6) превращается в т. е. само это уравнение превращается в тождество Также и два других уравнения (3) превращаются после подстановки значений х, у, z из (6) в тождества .

Мы доказали основное предложение.

Теорема 1. Если система трех уравнений с тремя неизвестными (3) имеет детерминант

то система (3) имеет единственное решение, которое находится «по правилу , т. е. по формулам (6), в которых суть матрицы, получающиеся из А посредством замены соответственно первого, второго, третьего столбца на столбец свободных членов .

В частности, если однородная система

имеет детерминант, отличный от нуля, то система (7) имеет единственное решение, а именно нулевое решение: .