§ 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости
В §§ 1, 2 мы рассматривали векторы в пространстве. В этом параграфе будем рассматривать лишь векторы, лежащие в плоскости.
Вращением плоскости вокруг данной ее точки О (центр вращения) называется движение этой плоскости по себе самой, заключающееся в том, что точка О остается неподвижной, а все остальные точки перемещаются но (лежащим в нашей плоскости) окружностям с центром О.
Вращение плоскости вокруг центра О можно производить в двух направлениях: по часовой стрелке и против нее.
Предположим, что в плоскости задана прямоугольная система координат
. Посредством вращения вокруг точки О орт
можно совместить с ортом
двумя способами: повернув его на угол
в одном или на угол
в противоположном направлении.
Мы условимся считать положительным то из двух направлений вращения, которое переводит орт
в орт
посредством поворота на
. Таким образом, если на плоскости дана прямоугольная система координат, то определено и положительное направление вращения.
Пусть на данной плоскости одно из двух возможных направлений вращения выбрано в качестве положительного. Возьмем на лашей плоскости два вектора и и v. Приложим оба вектора к одной и той же точке О (рис. 50), так что
Рис. 50.
Назовем углом от вектора и до вектора v или наклоном вектора v к вектору и тот угол
, на который в положительном направлении надо повернуть вектор и так, чтобы его направление совпало с направлением вектора
. Этот угол изменяется от 0 до
. Если и есгь единичный вектор какой-либо оси, то угол от вектора
вектора v называется углом наклона или просто наклоном вектора v к данной оси.
Рис. 51.
Пусть в плоскости дана прямоугольная система координат. Для угла наклона а вектора
к оси абсцисс (рис. 51) имеем, очевидно,
Эти равенства могут служить определением тригонометрических функций. В частности, если
есть орт
(рис. 52), то его координаты
и
суть
. Поэтому формула (9) из § 2, дающая выражение алгебраического значения проекции вектора
на ось, определенную ортом
, принимает теперь вид
Рис. 52.
Если векторы
наклонены к оси абсцисс соответственно под углами
(рис. 53), то угол
от вектора
до вектора на есть, очевидно,