Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА XXIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямыеНачнем с того, что вкратце повторим для четырехмерного пространства то, что в начале главы XXI было сказано для трехмерного. Возьмем в четырехмерном аффинном пространстве Отношение инцидентности симметрично: если прямая Мы можем переименовать связку О четырехмерного пространства в трехмерное проективное пространство Всякая аффинная система координат Любая четверка чисел В предположении, что в комплексной связке выбрана система координат Отождествляя каждый луч связки с классом четверок его координат относительно данной, раз навсегда выбранной аффинной координатной системы
Два уравнения вида (1) тогда и только тогда имеют одно и то же множество решений, когда их коэффициенты пропорциональны; пропорциональность коэффициентов в двух уравнениях вида (1) является необходимым и достаточным условием, чтобы эти два уравнения определяли одну и ту же плоскость в арифметическом проективном пространстве. Итак, множество всех плоскостей арифметического проективного пространства, так же как и множество всех его точек, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех классов, состоящих из пропорциональных между собою четверок чисел. Поэтому — во временное изменение только что принятого определения и в полной аналогии с тем, что было сказано в главе XXI, § 3 о проективной плоскости, — мы можем рассматривать и проективное пространство как содержащее элементы двух родов — точки и плоскости. И те и другие суть классы пропорциональных между собою числовых четверок, снабженных опознавательным знаком, указывающим, идет ли речь о точке или о плоскости проективного пространства. Каждая из четверок, составляющих данный класс, будет называться четверкой 4 «однородных координат» соответствующего элемента (точки или плоскости) проективного пространства, именно мы будем говорить о точках При этом точка На проективной плоскости мы имели равноправие между точками и прямыми. Теперь имеет место аналогичное равноправие между точками и плоскостями проективного пространства, выражающееся в следующем «принципе двойственности». Если верно какое-нибудь предложение, касающееся точек и плоскостей проективного пространства и тех или иных соотношений инцидентности между ними, то, заменяя в данном предложении (и его доказательстве) слово «точка» словом «плоскость» и сохраняя «инцидентность», мы получим формулировку (и доказательство) двойственного предложения. Мы рассматривали сначала равенство (1) как уравнение, которому удовлетворяют все точки Мы давно привыкли к понятию линейной комбинации двух прямых на плоскости, двух плоскостей в пространстве. Если две плоскости Аналогично, если две точки P и Q заданы в проективном пространстве какими-нибудь четверками своих координат В арифметическом проективном пространстве прямую линию, рассматриваемую как множество ее точек, можно определить двумя способами, эквивалентность которых мы сейчас докажем: во-первых, прямая есть пересечение двух различных плоскостей, во-вторых, прямая есть множество точек Если считать, что арифметическое проективное пространство Р поставлено в естественное взаимно однозначное соответствие со связкой О четырехмерного аффинного пространства, то первое определение выражает тот факт, что пересечение любых двух различных гиперплоскостей связки есть плоскость той же связки, тогда как второе определение означает, что любая плоскость связки состоит из лучей связки, являющихся линейными комбинациями двух каких-нибудь определенных лучей, лежащих в данной плоскости. Отсюда и следует эквивалентность двух данных определений прямой в проективном пространстве. Однако легко доказать эту эквивалентность и непосредственным простым вычислением, что мы сейчас и сделаем. Пусть прямая d дана как пересечение двух плоскостей
Так как плоскости
Тогда для всех этих точек
причем
Тогда из первых двух равенств (3) мы можем
которой удовлетворяет то же множество четверок Эквивалентность двух данных определений прямой в проективном пространстве доказана. Систему уравнений (3) естественно назвать параметрическим представлением или параметрическим уравнением прямой в проективном пространстве. Замечание 1. Из сказанного следует, что в проективном пространстве всякие две различные плоскости пересекаются по прямой. Так как всякая плоскость, лежащая в проективном пространстве (и совпадающая, с точностью до переименования, со связкой некоторого трехмерного подпространства пространства Наконец, прямая (2) и любая не содержащая ее плоскость
пересекаются в одной точке. В самом деле, так как плоскость (5), по предположению, не содержит прямой (2), т. е. не принадлежит пучку, определенному двумя плоскостями, уравнения которых составляют систему (2), то три уравнения — (2) и (5) — линейно независимы из них однозначно определяется отношение Итак, проективная геометрия не знает понятия параллельности. Замечание 2. Из только что доказанного вытекает, что для расположения трех различных плоскостей в проективном пространстве имеются лишь две возможности: три различные плоскости или принадлежат одному пучку (и тогда имеется единственная прямая, им всем инцидентная, — ось пучка), или же три плоскости независимы между собою (тогда имеется единственная точка, инцидентная этнм трем плоскостям). Двойственная теорема гласит: всякие три различные точки проективной плоскости либо инцидентны одной прямой (т. е. коллинеарны между собою), либо определяют единственную плоскость, им всем инцидентную. Проведение доказательства может быть предоставлено читателю. Замечание 3. Мы считаем точку основным элементом проективной геометрии пространства, а плоскость и прямую определяем как множества точек, удовлетворяющих тем или иным уравнениям. Но можно было бы считать основным элементом плоскость; тогда точка определится как множество всех плоскостей
(где
|
1 |
Оглавление
|