ГЛАВА XXIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые

Начнем с того, что вкратце повторим для четырехмерного пространства то, что в начале главы XXI было сказано для трехмерного.

Возьмем в четырехмерном аффинном пространстве какую-нибудь точку О и рассмотрим множество всех проходящих через точку О прямых, плоскостей и гиперплоскостей (т. е. трехмерных подпространств) пространства Это множество называется связкой с центром О в пространстве R, мы будем его обозначать одной буквой О. Между различными элементами связки — ее прямыми, плоскостями и гиперплоскостями — установлено отношение инцидентности: прямая инцидентна плоскости или гиперплоскости, если она содержится в ней, и т. д.

Отношение инцидентности симметрично: если прямая инцидентна плоскости , то говорим, что и плоскость инцидентна прямой d, и т. д. Прямые связки называются, когда это удобно, ее лучами.

Мы можем переименовать связку О четырехмерного пространства в трехмерное проективное пространство соответственно переименовывая лучи, плоскости, гиперплоскости связки в точки, прямые, плоскости проективного пространства — совершенно аналогично тому, что мы делали в случае проективной плоскости и связки трехмерного пространства.

Всякая аффинная система координат пространства начало которой есть центр О данной связки, называется аффинной координатной системой в связке О.

Любая четверка чисел являющаяся четверкой координат какого-нибудь направляющего вектора и данного луча m связки О, называется четверкой координат луча m (в аффинной системе координат ). Очевидно, все четверки координат луча m образуют класс пропорциональных между собою четверок и, обратно, всякий класс пропорциональных между собою числовых четверок является классом четверок координат (относительно дайной системы координат ) некоторого луча связки О. Если при этом предполагать, что исходное четырехмерное аффинное пространство является комплексным, то в нем рассматривается и связка, состоящая из всех комплексных прямых, плоскостей и гиперплоскостей, проходящих через данную действительную точку О. Так получается комплексная связка О, или, после соответствующего переименования ее элементов, комплексное проективное пространство.

В предположении, что в комплексной связке выбрана система координат (начало и единичные векторы которой всегда предполагаются действительными), мы получим, как и выше, взаимно однозначное соответствие между всеми лучами комплексной связки О и всеми классами пропорциональных четверок состоящих теперь уже из произвольных комплексных чисел Лишь четверка, состоящая из одних нулей, как всегда, оказывается запрещенной.

Отождествляя каждый луч связки с классом четверок его координат относительно данной, раз навсегда выбранной аффинной координатной системы мы приходим к понятию арифметического проективного пространства, точками которого являются всевозможные классы пропорциональных между собою четверок чисел — действительных в случае действительного, комплексных в случае комплексного проективного пространства. Плоскостью арифметического проективного пространства называется множество всех его точек удовлетворяющих однородному уравнению первой степени

Два уравнения вида (1) тогда и только тогда имеют одно и то же множество решений, когда их коэффициенты пропорциональны; пропорциональность коэффициентов в двух уравнениях вида (1) является необходимым и достаточным условием, чтобы эти два уравнения определяли одну и ту же плоскость в арифметическом проективном пространстве.

Итак, множество всех плоскостей арифметического проективного пространства, так же как и множество всех его точек, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех классов, состоящих из пропорциональных между собою четверок чисел. Поэтому — во временное изменение только что принятого определения и в полной аналогии с тем, что было сказано в главе XXI, § 3 о проективной плоскости, — мы можем рассматривать и проективное пространство как содержащее элементы двух родов — точки и плоскости. И те и другие суть классы пропорциональных между собою числовых четверок, снабженных опознавательным знаком, указывающим, идет ли речь о точке или о плоскости проективного пространства. Каждая из четверок, составляющих данный класс, будет называться четверкой 4 «однородных координат» соответствующего элемента (точки или плоскости) проективного пространства, именно мы будем говорить о точках и плоскостях

При этом точка и плоскость арифметического проективного пространства называются инцидентными между собою, если они связаны равенством (1), являющимся в этом случае числовым тождеством.

На проективной плоскости мы имели равноправие между точками и прямыми. Теперь имеет место аналогичное равноправие между точками и плоскостями проективного пространства, выражающееся в следующем «принципе двойственности». Если верно какое-нибудь предложение, касающееся точек и плоскостей проективного пространства и тех или иных соотношений инцидентности между ними, то, заменяя в данном предложении (и его доказательстве) слово «точка» словом «плоскость» и сохраняя «инцидентность», мы получим формулировку (и доказательство) двойственного предложения.

Мы рассматривали сначала равенство (1) как уравнение, которому удовлетворяют все точки инцидентные плоскости координаты которой, т. е. коэффициенты в уравнении (1), считались данными. Считая, наоборот, данной точку мы можем рассматривать равенство (1) как уравнение, которому удовлетворяют координаты всех плоскостей инцидентных данной точке т. е. как уравнение связки плоскостей с центром в трехмерном проективном пространстве.

Мы давно привыкли к понятию линейной комбинации двух прямых на плоскости, двух плоскостей в пространстве.

Если две плоскости заданы в проективном пространстве какими-нибудь четверками их координат то всякая плоскость, четверка координат которой является линейной комбинацией двух четверок называется линейной комбинацией двух плоскостей а и

Аналогично, если две точки P и Q заданы в проективном пространстве какими-нибудь четверками своих координат то всякая точка М, четверка координат которой является линейной комбинацией четверок называется линейной комбинацией точек P и

В арифметическом проективном пространстве прямую линию, рассматриваемую как множество ее точек, можно определить двумя способами, эквивалентность которых мы сейчас докажем: во-первых, прямая есть пересечение двух различных плоскостей, во-вторых, прямая есть множество точек являющихся линейными комбинациями двух заданных точек и .

Если считать, что арифметическое проективное пространство Р поставлено в естественное взаимно однозначное соответствие со связкой О четырехмерного аффинного пространства, то первое определение выражает тот факт, что пересечение любых двух различных гиперплоскостей связки есть плоскость той же связки, тогда как второе определение означает, что любая плоскость связки состоит из лучей связки, являющихся линейными комбинациями двух каких-нибудь определенных лучей, лежащих в данной плоскости. Отсюда и следует эквивалентность двух данных определений прямой в проективном пространстве. Однако легко доказать эту эквивалентность и непосредственным простым вычислением, что мы сейчас и сделаем.

Пусть прямая d дана как пересечение двух плоскостей т. е. как множества всех точек где есть решение системы уравнений

Так как плоскости различны, то ранг системы (2) равен двум, следовательно, все ее решения суть линейные комбинации двух каких-нибудь независимых решений — все точки прямой d суть линейные комбинации двух точек . Обратно, рассмотрим множество всех точек являющихся линейными комбинациями двух каких-нибудь данных точек

.

Тогда для всех этих точек имеем параметрическое представление

причем и пробегают всевозможные числовые значения, кроме запрещенной пары значений . Точки P и Q различны, значит, четверки их координат не пропорциональны между собою и без ограничения общности можно предположить, что, например,

Тогда из первых двух равенств (3) мы можем и однозначно выразить через и подставляя полученные выражения и в третье и четвертое равенства, получаем (очевидно, независимую) систему уравнений вида

которой удовлетворяет то же множество четверок что и системе (3).

Эквивалентность двух данных определений прямой в проективном пространстве доказана.

Систему уравнений (3) естественно назвать параметрическим представлением или параметрическим уравнением прямой в проективном пространстве.

Замечание 1. Из сказанного следует, что в проективном пространстве всякие две различные плоскости пересекаются по прямой. Так как всякая плоскость, лежащая в проективном пространстве (и совпадающая, с точностью до переименования, со связкой некоторого трехмерного подпространства пространства ), есть проективная плоскость, то всякие две различные прямые, лежащие в одной плоскости проективного пространства, пересекаются в одной точке.

Наконец, прямая (2) и любая не содержащая ее плоскость

пересекаются в одной точке. В самом деле, так как плоскость (5), по предположению, не содержит прямой (2), т. е. не принадлежит пучку, определенному двумя плоскостями, уравнения которых составляют систему (2), то три уравнения — (2) и (5) — линейно независимы из них однозначно определяется отношение т. е. единственная точка пересечения прямой (2) и плоскости (5).

Итак, проективная геометрия не знает понятия параллельности.

Замечание 2. Из только что доказанного вытекает, что для расположения трех различных плоскостей в проективном пространстве имеются лишь две возможности: три различные плоскости или принадлежат одному пучку (и тогда имеется единственная прямая, им всем инцидентная, — ось пучка), или же три плоскости независимы между собою (тогда имеется единственная точка, инцидентная этнм трем плоскостям). Двойственная теорема гласит: всякие три различные точки проективной плоскости либо инцидентны одной прямой (т. е. коллинеарны между собою), либо определяют единственную плоскость, им всем инцидентную.

Проведение доказательства может быть предоставлено читателю.

Замечание 3. Мы считаем точку основным элементом проективной геометрии пространства, а плоскость и прямую определяем как множества точек, удовлетворяющих тем или иным уравнениям. Но можно было бы считать основным элементом плоскость; тогда точка определится как множество всех плоскостей удовлетворяющих данному уравнению

(где — данная четверка чисел), т. е. как множество плоскостей некоторой связки; прямую мы в этом случае определили бы как множество плоскостей, являющихся линейными комбинациями двух данных плоскостей, т. е. как пучок плоскостей, определенный двумя данными плоскостями.