§ 10. Две задачи

Рассмотрим в заключение две задачи.

Рис. 131.

Задача 1. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую d (не проходящую через точку ), данную уравнением

и найти его длину. При этом под перпендикуляром, опущенным из данной точки на прямую d, понимается прямая, проходящая через точку и пересекающая прямую d в некоторой ее точке под прямым углом. Длина отрезка называется длиной перпендикуляра. Для решения поставленной задачи, во-первых, проводим плоскость через точку и прямую d (рис. 132). Эта плоскость, неся на себе векторы

и содержа точку , имеет уравнение

Во-вторых, проводим плоскость через точку — перпендикулярно к прямой d. Уравнение этой плоскости есть

Пересечение этих двух плоскостей дает искомую прямую, проходящую через точку , пересекающую прямую d и перпендикулярную к ней.

Рис. 132.

Длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , найдем как высоту параллелограмма, построенного на векторах , отложенных от точки , считая основанием сторону (рис. 133). Площадь этого параллелограмма есть абсолютная величина векторного произведения вектора на вектор , а длина его основания есть поэтому для расстояния имеем

Задача 2. Написать уравнение общего перпендикуляра к двум непараллельным прямым

и

и найти его длину.

Под общим перпендикуляром к двум прямым (в пространстве) понимается прямая, пересекающая каждую из двух данных прямых в некоторых точках под прямым углом.

Решение. Берем векторное произведение векторов и рассмотрим плоскости

и

Рис. 133.

Докажем, что плоскости пересекаются по некоторой прямой I, которая и является (единственным) общим перпендикуляром к прямым (1) и .

Плоскость (2) содержит прямую (1) и вектор w, перпендикулярный к обеим прямым (1) и ().

Плоскость (2) также содержит вектор w, перпендикулярный к обеим прямым (1) и (), и, кроме того, прямую (1).

Рис. 134.

Предположим сначала, что прямые (1) и () лежат в одной плоскости (но не параллельны между собою); тогда вектор w перпендикулярен к плоскости плоскость (2), неся на себе вектор w, перпендикулярный к плоскости , сама перпендикулярна к плоскости и содержит прямую (1). Точно так же плоскость (2) перпендикулярна к плоскости и содержит прямую .

Отсюда следует, что плоскости (2) и (2) не совпадают. Точка пересечения Q прямых (1) и (1') лежит в пересечении плоскостей (2) и (2); это пересечение есть прямая , проходящая через точку Q перпендикулярно к плоскости и, зиачнт, к прямым (1) и (1') (рис. 134). Она и является искомым общим перпендикуляром к этим прямым.

Пусть теперь прямые (1) и (1') скрещиваются (рис. 135). Тогда плоскость (2) содержит прямую (1), но не содержит вектора : если бы она его содержала, то вектор w, будучи перпендикулярным к , был бы перпендикулярен ко всей плоскости (2), тогда как он лежит в ней.

По той же причине плоскость (2) не содержит вектора .

Итак, плоскость (2) содержит прямую (1) и не параллельна прямой (1), значит, пересекается с ней.

Плоскость (2) содержит прямую () и пересекается с прямой (1).

Поэтому плоскости (2) и (2) не могут быть параллельны (в широком смысле слова), они пересекаются по некоторой прямой I. Прямая I содержит вектор w (содержащийся в обеих плоскостях (2) и значит, прямая I перпендикулярна к обеим прямым (1) и (1).

Далее, точка пересечения М плоскости (2) и прямой (1) содержится в плоскости (2) и в плоскости (2) (содержащей всю прямую (1)), значит, и в их пересечении, т. е. в прямой прямой .

Итак, прямая I пересекается с прямой (1). Аналогично убеждаемся и в том, что прямая I пересекается с прямой (1); отсюда следует, что прямая I есть общий перпендикуляр к прямым (1) и (1'). Такая прямая единственная (в предположении, что прямые (1) и () не параллельны).

Рис. 135.

В самом деле, направление прямой I определено тем, что она перпендикулярна к плоскости, натянутой на два направляющих вектора и «о прямых (1) и (). Поэтому, если существовало бы два общих перпендикуляра к прямым (1) и (), то они были бы параллельны, значит, лежали бы в одной плоскости. Но тогда прямые (1) и (), как перпендикуляры к этим компланарным прямым, были бы параллельны — случай, который мы исключили (и в котором прямые в самом деле имеют бесконечно много общих перпендикуляров).

Длину общего перпендикуляра к прямым найдем как высоту параллелепипеда, ребрами которого служат векторы, , считая основанием параллелограмм, построенный на векторах (рис. 136). Объем V этого параллелепипеда есть модуль детерминанта

а площадь его основания равна абсолютной величине векторного произведения . Поэтому расстояние между прямыми будет

Рис. 136.