§ 10. Две задачи
Рассмотрим в заключение две задачи.
Рис. 131.
Задача 1. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки
на прямую d (не проходящую через точку
), данную уравнением
и найти его длину. При этом под перпендикуляром, опущенным из данной точки
на прямую d, понимается прямая, проходящая через точку
и пересекающая прямую d в некоторой ее точке
под прямым углом. Длина отрезка
называется длиной перпендикуляра. Для решения поставленной задачи, во-первых, проводим плоскость через точку
и прямую d (рис. 132). Эта плоскость, неся на себе векторы
и содержа точку
, имеет уравнение
и
и найти его длину.
Под общим перпендикуляром к двум прямым (в пространстве) понимается прямая, пересекающая каждую из двух данных прямых в некоторых точках
под прямым углом.
Решение. Берем векторное произведение
векторов
и рассмотрим плоскости
и
Рис. 133.
Докажем, что плоскости
пересекаются по некоторой прямой I, которая и является (единственным) общим перпендикуляром к прямым (1) и
.
Плоскость (2) содержит прямую (1) и вектор w, перпендикулярный к обеим прямым (1) и (
).
Плоскость (2) также содержит вектор w, перпендикулярный к обеим прямым (1) и (
), и, кроме того, прямую (1).
Рис. 134.
Предположим сначала, что прямые (1) и (
) лежат в одной плоскости
(но не параллельны между собою); тогда вектор w перпендикулярен к плоскости
плоскость (2), неся на себе вектор w, перпендикулярный к плоскости
, сама перпендикулярна к плоскости
и содержит прямую (1). Точно так же плоскость (2) перпендикулярна к плоскости
и содержит прямую
.
Отсюда следует, что плоскости (2) и (2) не совпадают. Точка пересечения Q прямых (1) и (1') лежит в пересечении плоскостей (2) и (2); это пересечение есть прямая
, проходящая через точку Q перпендикулярно к плоскости
и, зиачнт, к прямым (1) и (1') (рис. 134). Она и является искомым общим перпендикуляром к этим прямым.
Пусть теперь прямые (1) и (1') скрещиваются (рис. 135). Тогда плоскость (2) содержит прямую (1), но не содержит вектора
: если бы она его содержала, то вектор w, будучи перпендикулярным к
, был бы перпендикулярен ко всей плоскости (2), тогда как он лежит в ней.
По той же причине плоскость (2) не содержит вектора
.
Итак, плоскость (2) содержит прямую (1) и не параллельна прямой (1), значит, пересекается с ней.
Плоскость (2) содержит прямую (
) и пересекается с прямой (1).
Поэтому плоскости (2) и (2) не могут быть параллельны (в широком смысле слова), они пересекаются по некоторой прямой I. Прямая I содержит вектор w (содержащийся в обеих плоскостях (2) и
значит, прямая I перпендикулярна к обеим прямым (1) и (1).
Далее, точка пересечения М плоскости (2) и прямой (1) содержится в плоскости (2) и в плоскости (2) (содержащей всю прямую (1)), значит, и в их пересечении, т. е. в прямой
прямой
.
Итак, прямая I пересекается с прямой (1). Аналогично убеждаемся и в том, что прямая I пересекается с прямой (1); отсюда следует, что прямая I есть общий перпендикуляр к прямым (1) и (1'). Такая прямая единственная (в предположении, что прямые (1) и (
) не параллельны).
Рис. 135.
В самом деле, направление прямой I определено тем, что она перпендикулярна к плоскости, натянутой на два направляющих вектора
и «о прямых (1) и (
). Поэтому, если существовало бы два общих перпендикуляра к прямым (1) и (
), то они были бы параллельны, значит, лежали бы в одной плоскости. Но тогда прямые (1) и (
), как перпендикуляры к этим компланарным прямым, были бы параллельны — случай, который мы исключили (и в котором прямые в самом деле имеют бесконечно много общих перпендикуляров).