§ 5. Коррелятивное, в частности полярное, соответствие. Тангенциальное уравнение кривой

Пусть дана какая-нибудь невырождающаяся, в остальном совершенно произвольная матрица

Напишем формулы:

Здесь каждая тройка есть тройка однородных координат некоторой точки X проективной плоскости. Если мы под соответствующей тройкой будем понимать также тройку координат точки плоскости, то формулы (I) дадут нам некоторое проективное преобразование (коллинеацию) плоскости.

Но мы можем под понимать координаты некоторой прямой; тогда формулы (1) дадут нам некоторое взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми плоскости; взаимная однозначность этого соответствия следует из того, что матрица С невырождающаяся; поэтому, решая уравнения (I) относительно

мы по данным получим по формулам:

где есть матрица, обратная к матрице

Взаимно однозначные соответствия между точками и прямыми проективной плоскости, даваемые формулами типа (I) и (II), в которых данной точке (данной прямой) ставится в соответствие прямая (точка), координаты которой линейно и однородно выражаются через координаты данной точки (данной прямой), называются коррелятивными соответствиями или корреляциями на проективной плоскости. При этом сама плоскость понимается как множество всех лежащих в ней точек и прямых, и речь идет, следовательно, о таком взаимно однозначном отображении этого множества на себя, при котором его разноименные элементы, точки и прямые, переходят друг в друга.

Полярные соответствия составляют частный случай корреляций; полярное соответствие — это такая корреляция, матрица С которой есть симметрическая матрица. Каждая симметрическая матрица есть матрица некоторой квадратичной формы; приравнивая эту форму нулю, получим уравнение кривой второго порядка; полярное соответствие, определенное этой кривой, и есть, очевидно, данная симметрическая корреляция.

Когда при данном полярном соответствии точка переходит в инцидентную ей прямую? Другими словами, когда данная точка лежит на своей поляре

Пишем условие инцидентности:

т. е.

т. е.

Итак, точка инцидентна своей поляре тогда и только тогда, когда она лежит на кривой (1). Но тогда поляра данной точки есть касательная в этой точке.

Тот же вопрос можно, естественно, поставить и для прямой: когда данная прямая инцидентна своему полюсу X? Если прямая инцидентна своему полюсу X, то этот полюс инцидентен своей поляре, т. е. точка X лежит на кривой (1), а прямая является касательной к кривой (1) в этой точке.

Скажем, что точка инцидентна данной кривой, если она лежи на ней, и что прямая инцидентна кривой, когда является ее касательной.

Мы имеем следующее предложение.

Теорема 11. Два элемента — точка и прямая, соответствующий, друг другу при полярном соответствии, определенном данной невы рождающейся кривой второго порядка, тогда и только тогда инци дентны между собою, когда сами эти элементы инцидентны данной кривой.

Теперь легкоответить и на такой вопрос: какому условию удовлетворяют всех прямых, инцидентных данной кривой

Прямые, инцидентные кривой (1), — это прямые инцидентные своим полюсам, где

Условие инцидентности дает в данном случае

т. е.

Этому уравнению и удовлетворяют координаты всех прямых, инцидентных данной кривой (т. е. всех касательных к этой кривой).

Ввиду равноправия точек и прямых на проективной плоскости всякую алгебраическую кривую на плоскости естественно рассматривать не только как множество инцидентных ей точек, но и как множество инцидентных ей прямых. Уравнение (1) есть уравнение, которому удовлетворяют координаты всех точек, инцидентных данной кривой второго порядка; это обычное, или «точечное», уравнение данной кривой. Уравнение (2) есть уравнение, которому удовлетворяют координаты всех прямых, инцидентных данной кривой второго порядка; это уравнение называется «тангенциальным» (т. е. «касательным») уравнением данной кривой или уравнением ее в «тангенциальных» координатах (под тангенциальными координатами понимаются координаты прямой). Тангенциальное уравнение кривой второго порядка есть также уравнение второй степени. Для кривых высших порядков это уже не так.

Имеет место следующий факт, являющийся усилением принципа двойственности, сформулированного в § 4 предыдущей главы.

Пусть доказано какое-нибудь предложение, касающееся точек, прямых и кривых второго порядка и отношений инцидентности между ними. Тогда имеет место и двойственное предложение, получающееся из первоначального заменою слов «прямая» и «точка» друг на друга. Эта же замена, систематически осуществляемая во всех рассуждениях, образующих доказательство одного из двух двойственных между собою предложений, превращает их в доказательство второго предложения.

Классическим примером может служить теорема, двойственная в этом смысле к теореме Паскаля, а именно следующая теорема Брианшона:

Теорема 6. Пусть даны шесть прямых:

инцидентных данной невырождающейся кривой второго порядка (рис. 251).

Рис. 251.

Эти шесть прямых в том порядке, в котором они даны, определяют шесть точек:

Тогда три прямые

проходят через одну точку («три прямые, соединяющие пары противоположных вершин шестиугольника, описанного вокруг кривой второго порядка, проходят через одну точку»).

Теоремой, двойственной к теореме 5, является

Теорема 5. Всякие пять прямых, из которых никакие четыре не проходят через одну точку, определяют единственную кривую второго порядка, этим прямым инцидентную, т. е. касающуюся каждой из них.

Наконец, следует отметить и двойственное предложение к теореме 7.

Теорема 7. Пусть даны кривая второго порядка у и две касательные к ней. Каждой точке М прямой d поставим в соответствие ту точку М прямой d, в которой эту прямую пересечет касательная, проведенная к кривой из точки М.

Полученное отоброжение прямой d на прямую d является проективным (но не перспективным). Обратно, если дано проективное отображение прямой d на прямую d, не являющееся перспективным, то множество всех прямых вида ММ, где М и М суть какие-нибудь соответствующие друг другу при данном проективном соответствии точки прямых d и d, есть множество всех касательных к некоторой кривой второго порядка.

Доказательство всех этих теорем, состоящее из рассуждений, двойственных к доказательствам теорем 6, 5, 7, было бы для читателя полезным упражнением.