§ 2. Определение и каноническое уравнение эллипса
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек
(рис. 80) есть постоянное число; это число мы обозначаем через
. Точки
называются фокусами эллипса; расстояние между ними обозначается через
и называется фокусным расстояч нием. Число а называется большой полуосью эллипса (по причинам, которые выяснятся в дальнейшем). Середина О отрезка
, соеди няющего фокусы, называется центром эллипса, а вся прямая
называется его фокальной или первой осью. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к фокальной оси, называется второй осью эллипса.
Пусть М — какая-нибудь точка эллипса. Так как
, то
. Однако если
, то получаем совокупность всех точек
, для которых
т. е. отрезок
.
Этот случай мы в дальнейшем рассматривать не будем и поэтому будем предполагать, что
.
Число
называется эксцентриситетом эллипса; оно всегда
. Эксцентриситет эллипса равен нулю тогда и только тогда, когда фокусы эллипса совпадают:
. В этом случае эллипс превращается в геометрическое место точек М, расстояние которых от точки
равно а, т. е. в окружность радиуса а с центром
под осью окружности понимаем всякую прямую, проходящую через ее центр О.
Рис. 80.
Пусть нам дай эллипс; значит, даны его фокусы
и дана его большая полуось
все время, как сказано в самом начале главы, считаем данным масштаб, которым измеряются расстояния между точками на плоскости.
Значит, нам известно и число
, равное половине расстояния между фокусами.
Построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической системой (для данного эллипса). Ее начало О есть центр эллипса, а ось абсцисс совпадает с фокальной осью. Положительным направлением на ней считаем направление вектора
. Положительное направление на оси ординат выбираем произвольно.
В этой системе координат имеем
фокус
условно называем левым, фокус — правым.
Предположим теперь, что
— произвольная точка эллипса. Пусть
— расстояния точки М до фокусов
соответственно
. Числа
называются фокальными радиусами точки М. Имеем:
Точка
является точкой эллипса тогда и только тогда, когда
т. е.
Это уравнение (в котором оба корня положительны) и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Преобразуем уравнение (1) к виду, который называется каноническим уравнением эллипса. Для этого перенесем второй радикал в правую часть. Возведя после этого обе части уравнения в квадрат, получаем
или (после раскрытия скобок и приведения подобных членов)
Обе части равенства (2) снова возведем в квадрат, получим
или (после очевидных упрощений)
Так как
, то число
положительно; обозначим его через
, называя число
малой полуосью эллипса. Теперь равенство (3) можно переписать в виде
или
Покажем теперь, что уравнение (4) действительно есть уравнение нашего эллипса, - ведь пока мы доказали только, что каждая точка
удовлетворяющая уравнению (1), удовлетворяет и уравнению (4). Остается доказать обратное утверждение, а именно, что каждая точка
удовлетворяющая уравнению (4), есть точка эллипса, т. е. что для нее выполнено условие
это не очевидно, так как при переходе от уравнения (Г) к уравнению (4) мы два раза возводили обе части уравнения в квадрат, а при этом могли появиться пары чисел
удовлетворяющие уравнению (4),
не удовлетворяющие уравнению (1). Итак, пусть
— произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (4). Найдем расстояния
точки
от фокусов
. Имеем
причем из (4) имеем
Но
подставляя это в (6), получаем
Это значение у подставим в (5); получим
откуда
Слева — положительное число
справа надо взять такой знак, чтобы правая часть была тоже положительной. Но из (4) следует, что
кроме того,
значит,
, т. е. всегда
, так что справа в (7) надо взять знак
, и мы получаем
Точно так же
Это равенство отличается от (5) только тем, что в нем вместо с имеем —с. Поэтому, не повторяя выкладок, аналогичных только что проведенным, можем получить значение для
сразу, заменяя в (7) с на —с. Получаем
Снова имеем
, зиачит, всегда
справа надо опять взять знак
Из (I) и (II) получаем
, точка
принадлежит нашему эллипсу.
Итак, мы доказали, что уравнение (4) действительно есть уравнение эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса.
Формулы (I) и (II), очень просто — и даже линейно — выражают фокальные радиусы любой точки эллипса через абсциссу этой точки.
Кроме того, заметим, что из
следует
значит,
Эти формулы нам понадобятся в дальнейшем.
Из уравнения (4) легко выводятся некоторые свойства эллипса. Прежде всего, если точка
лежит на нашем эллипсе, т. е. удовлетворяет уравнению (4), то тем же свойством обладает и точка
(рис. 81), симметричная точке М относительно оси абсцисс (т. е. фокальной оси эллипса), а также точка
, симметричная точке М относительно оси ординат (т. е. второй оси эллипса). Итак, обе оси эллипса (первая и вторая) являются его осями симметрии.
Рис. 81.
Центр эллипса является его центром симметрии: в самом деле, при нашем выборе системы координат центр есть начало координат О; если точка
удовлетворяет уравнению (4), то и точка
, симметричная точке М относительно центра О, также удовлетворяет уравнению (4), откуда утверждение следует.
Заметим, наконец, что — в силу уравнения (4), которому удовлетворяют все точки эллипса, — для каждой точки
эллипса имеем
т.е.
, — весь эллипс лежит в прямоугольнике, ограниченном прямыми
, параллельными (второй и первой) осям эллипса и отстоящими от них соответственно на расстояние а и
. Этот прямоугольник называется основным прямоугольником для данного эллипса.
Точки
а также точки
, т. е. точки пересечения эллипса с его осями, называются вершинами эллипса.
Таким образом, у эллипса (не являющегося окружностью) имеется четыре вершины.
Замечание. Непосредственно из определения эллипса вытекает следующий общеизвестный способ его построения. В чертежную доску вбиваются два гвоздика и (с расстоянием
между ними). На них накидывается замкнутая нить длины
; натянув эту нить приложением к ней острия карандаша, передвигают карандаш так, чтобы нить все время была натянутой.
При этом карандаш вычертит эллипс, как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов
, очевидно, равна
.