§ 2. Определение и каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек (рис. 80) есть постоянное число; это число мы обозначаем через . Точки называются фокусами эллипса; расстояние между ними обозначается через и называется фокусным расстояч нием. Число а называется большой полуосью эллипса (по причинам, которые выяснятся в дальнейшем). Середина О отрезка , соеди няющего фокусы, называется центром эллипса, а вся прямая называется его фокальной или первой осью. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к фокальной оси, называется второй осью эллипса.

Пусть М — какая-нибудь точка эллипса. Так как , то . Однако если , то получаем совокупность всех точек , для которых т. е. отрезок .

Этот случай мы в дальнейшем рассматривать не будем и поэтому будем предполагать, что .

Число

называется эксцентриситетом эллипса; оно всегда . Эксцентриситет эллипса равен нулю тогда и только тогда, когда фокусы эллипса совпадают: . В этом случае эллипс превращается в геометрическое место точек М, расстояние которых от точки равно а, т. е. в окружность радиуса а с центром под осью окружности понимаем всякую прямую, проходящую через ее центр О.

Рис. 80.

Пусть нам дай эллипс; значит, даны его фокусы и дана его большая полуось все время, как сказано в самом начале главы, считаем данным масштаб, которым измеряются расстояния между точками на плоскости.

Значит, нам известно и число , равное половине расстояния между фокусами.

Построим на плоскости прямоугольную систему координат, которую будем называть канонической системой (для данного эллипса). Ее начало О есть центр эллипса, а ось абсцисс совпадает с фокальной осью. Положительным направлением на ней считаем направление вектора . Положительное направление на оси ординат выбираем произвольно.

В этой системе координат имеем фокус условно называем левым, фокус — правым.

Предположим теперь, что — произвольная точка эллипса. Пусть — расстояния точки М до фокусов соответственно . Числа называются фокальными радиусами точки М. Имеем:

Точка является точкой эллипса тогда и только тогда, когда

т. е.

Это уравнение (в котором оба корня положительны) и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат.

Преобразуем уравнение (1) к виду, который называется каноническим уравнением эллипса. Для этого перенесем второй радикал в правую часть. Возведя после этого обе части уравнения в квадрат, получаем

или (после раскрытия скобок и приведения подобных членов)

Обе части равенства (2) снова возведем в квадрат, получим

или (после очевидных упрощений)

Так как , то число положительно; обозначим его через , называя число малой полуосью эллипса. Теперь равенство (3) можно переписать в виде

или

Покажем теперь, что уравнение (4) действительно есть уравнение нашего эллипса, - ведь пока мы доказали только, что каждая точка удовлетворяющая уравнению (1), удовлетворяет и уравнению (4). Остается доказать обратное утверждение, а именно, что каждая точка удовлетворяющая уравнению (4), есть точка эллипса, т. е. что для нее выполнено условие это не очевидно, так как при переходе от уравнения (Г) к уравнению (4) мы два раза возводили обе части уравнения в квадрат, а при этом могли появиться пары чисел удовлетворяющие уравнению (4), не удовлетворяющие уравнению (1). Итак, пусть — произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (4). Найдем расстояния точки от фокусов . Имеем

причем из (4) имеем

Но подставляя это в (6), получаем

Это значение у подставим в (5); получим

откуда

Слева — положительное число справа надо взять такой знак, чтобы правая часть была тоже положительной. Но из (4) следует, что кроме того, значит, , т. е. всегда , так что справа в (7) надо взять знак , и мы получаем

Точно так же

Это равенство отличается от (5) только тем, что в нем вместо с имеем —с. Поэтому, не повторяя выкладок, аналогичных только что проведенным, можем получить значение для сразу, заменяя в (7) с на —с. Получаем

Снова имеем , зиачит, всегда справа надо опять взять знак

Из (I) и (II) получаем , точка принадлежит нашему эллипсу.

Итак, мы доказали, что уравнение (4) действительно есть уравнение эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса.

Формулы (I) и (II), очень просто — и даже линейно — выражают фокальные радиусы любой точки эллипса через абсциссу этой точки.

Кроме того, заметим, что из следует значит,

Эти формулы нам понадобятся в дальнейшем.

Из уравнения (4) легко выводятся некоторые свойства эллипса. Прежде всего, если точка лежит на нашем эллипсе, т. е. удовлетворяет уравнению (4), то тем же свойством обладает и точка (рис. 81), симметричная точке М относительно оси абсцисс (т. е. фокальной оси эллипса), а также точка , симметричная точке М относительно оси ординат (т. е. второй оси эллипса). Итак, обе оси эллипса (первая и вторая) являются его осями симметрии.

Рис. 81.

Центр эллипса является его центром симметрии: в самом деле, при нашем выборе системы координат центр есть начало координат О; если точка удовлетворяет уравнению (4), то и точка , симметричная точке М относительно центра О, также удовлетворяет уравнению (4), откуда утверждение следует.

Заметим, наконец, что — в силу уравнения (4), которому удовлетворяют все точки эллипса, — для каждой точки эллипса имеем

т.е. , — весь эллипс лежит в прямоугольнике, ограниченном прямыми , параллельными (второй и первой) осям эллипса и отстоящими от них соответственно на расстояние а и . Этот прямоугольник называется основным прямоугольником для данного эллипса.

Точки а также точки , т. е. точки пересечения эллипса с его осями, называются вершинами эллипса.

Таким образом, у эллипса (не являющегося окружностью) имеется четыре вершины.

Замечание. Непосредственно из определения эллипса вытекает следующий общеизвестный способ его построения. В чертежную доску вбиваются два гвоздика и (с расстоянием между ними). На них накидывается замкнутая нить длины ; натянув эту нить приложением к ней острия карандаша, передвигают карандаш так, чтобы нить все время была натянутой.

При этом карандаш вычертит эллипс, как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов , очевидно, равна .