§ 5. Задача: когда прямая Ax+By+C=0 на плоскости проходит через точку пересечения двух заданных прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, введем сначала следующее

Определение. Прямая

пазывается линейной комбинацией (с коэффициентами ) прямых

и

если имеет место тождество

означающее, что

Из тождества (4) следует, что пара чисел , удовлетворяющая обоим уравнениям (2) и (3), удовлетворяет и уравнению (1), являющемуся их линейной комбинацией. Поэтому всякая прямая (1), являющаяся линейной комбинацией прямых (2) и (3), проходит через точку пересечения прямых (2) и (3).

Рис. 67.

Докажем теперь, что и, обратно, всякая прямая, проходящая через точку пересечения прямых , является их линейной комбинацией. Пусть дана прямая d, проходящая через точку (рис. 67). Очевидно, мы можем предположить, что эта прямая отлична от обеих прямых и . Будем искать такие числа и , чтобы выполнялось тождество (4). Для этого возьмем какую-нибудь точку , лежащую на прямой d и отличную от точки , и напишем уравнение с неизвестными :

(5)

Точка не лежит ни на одной из прямых и , так что обе скобки в левой части уравнения (5) отличны от нуля, и мы получаем из этого уравнения

Пусть теперь — какие-нибудь числа, удовлетворяющие равенству (6). Тогда выполнено и равенство (5), означающее, что точка лежит на прямой

Но прямая (7), будучи линейной комбинацией прямых (2) и (3), проходит не только через точку но и через точку , а прямые (1) И (7), имея две общие точки , совпадают между собою, прямая (1) есть не что иное, как линейная комбинация (7) прямых (2) и (3). Утверждение доказано.

Мы получили следующий результат: для того чтобы прямая (1) проходила через точку пересечения прямых (2) и (3), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1) было линейной комбинацией уравнений (2) и (3).

Интерес этого результата не только в изяществе его формулировки, но и в том новом применении понятия линейной комбинации (и связанного с ним понятия линейной зависимости), которое в нем содержится и которое является образцом многих аналогичных предложений.

Назовем множество всех прямых плоскости, проходящих через данную ее точку , (собственным) пучком с центром . Для того чтобы задать пучок прямых, достаточно задать его центр, а для этого в свою очередь достаточно задать какие-нибудь две прямые, входящие в этот пучок.

Доказанное только что предложение выясняет алгебраическую суть этого очевидного геометрического факта: все прямые пучка являются линейными комбинациями любых двух из них.

Всякое множество прямых на плоскости, состоящее из всех прямых, являющихся линейными комбинациями каких-нибудь двух данных прямых , называется одномерным линейным многообразием прямых.

Назовем теперь несобственным пучком совокупность всех прямых плоскости, параллельных какой-нибудь одной прямой.

Нетрудно доказать, что всякая прямая, являющаяся линейной комбинацией двух каких-нибудь прямых данного несобственного пучка, является прямой, принадлежащей тому же несобственному пучку, и что, обратно, всякая прямая несобственного пучка является линейной комбинацией двух прямых , произвольно выбранных в этом пучке. Другими словами, всякий несобственный пучок (так же как и собственный) является одномерным линейным многообразием прямых.

Пусть дано какое-нибудь одномерное линейное многообразие прямых. Оно состоит из всех линейных комбинаций двух данных прямых . Если прямые пересекаются, то наше многообразие есть собственный пучок; если они не пересекаются, то порожденное ими многообразие является несобственным пучком. Другими словами, единственными одномерными линейными многообразиями прямых на плоскости вляются собственные и несобственные пучки. Ставя в соответствие каждому собственному пучку его центр, мы получаем взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости и всеми собственными пучками. Можно теперь произвести пополнение плоскости «несобственными» или «бесконечно удаленными» точками, поставив в соответствие каждому несобственному пучку «несобственную» точку и объявив ее единственной несобственной точкой каждой из прямых, образующих данный несобственный пучок. Каждый несобственный пучок получает, таким образом, свой -несобственную (или «бесконечно удаленную») точку пересечения всех прямых, образующих этот пучок. Эта несобственная точка — точка пересечения всех параллельных прямых данного направления — называется также несобственной точкой плоскости, удаленной в бесконечность в данном направлении (в направлении, общем для всех параллельных прямых, составляющих данный пучок). Мы уже пришли в конце первой главы к необходимости пополнить каждую прямую одной - единственной для каждой данной прямой бесконечно удаленной точкой; теперь, когда мы рассматриваем совокупность всех прямых на плоскости, мы видим, что это пополнение происходит так, что две различные прямые имеют одну и ту же бесконечно удаленную точку тогда и только тогда, когда они параллельны между собою. Заметим, наконец, что совокупность всех несобственных точек плоскости объявляется прямой линией — несобственной (или бесконечно удаленной) прямой плоскости. Плоскость, множество точек которой пополнено, как только что указано, всеми несобственными точками, а множестве всех прямых — одной (составленной из всех несобственных точек несобственной прямой, называется проективной плоскостью.

На проективной плоскости всякие две прямые пересекаются в одной точке: собственной, если прямые на обычной плоскости не параллельны, и в их единственной общей несобственной точке, если эти прямые были параллельны. Наконец, если одна из Двух прямых несобственная, то она пересекается со второй прямой в единственной несобственной точке этой последней.

Легко видеть также, что на проективной плоскости (так же как и на обыкновенной) через всякие две точки А и В проходит единственная прямая. Это очевидно, если обе точки А, В собственные. Если А - собственная, а В — несобственная точка, то прямая АВ есть единственная прямая, проходящая через точку А и принадлежащая несобственному пучку («направлению»), соответствующему несобственной точке В. Наконец, если обе точки А и В несобственные, то единственная прямая, через них проходящая, есть несобственная прямая плоскости.

Мы только коснулись здесь вопросов, связанных с переходом от обыкновенной плоскости к проективной, — коснулись, чтобы сразу же отложить их до главы XXI этих «Лекций», предметом которой и будут начала аналитической геометрии именно на проективной плоскости.