§ 9. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления

Пусть дана кривая второго порядка своим общим уравнением

Посмотрим сначала, каковы диаметры, сопряженные направлениям осей координат. Уравнение диаметра, сопряженного направлению есть

Если (т. е. вектор есть направляющий вектор оси абсцисс), то уравнение (2) превращается в

Если же то уравнение сопряженного диаметра есть

Итак, диаметр, сопряженный направлению оси абсцисс, имеет уравнение (2), а диаметр, сопряженный направлению оси ординат, имеет уравнение

Предположим теперь, что ось ординат имеет произвольное, неасимптотическое для данной кривой направление, а ось абсцисс является диаметром, сопряженным направлению оси ординат. Тогда уравнение есть уравнение оси абсцисс, т. е. выражает ту же прямую, что и уравнение

Следовательно, коэффициенты

Уравнения должны быть пропорциональны коэффициентам

уравнения оси , а это значит, что

Следовательно, в нашей системе координат кривая (1) имеет уравнение

Рассмотрим отдельно два случая:

1° Кривая (-центральная.

2° Кривая (1) — параболическая (парабола или пара параллельных прямых).

В первом случае из того, что ось абсцисс представляет собою диаметр, сопряженный направлению оси ординат, следует, что и ось ординат имеет направление, сопряженное оси абсцисс. Если при этом начало координат лежит в центре кривой, то обе оси координат являются сопряженными между собою диаметрами.

Но тогда ось ординат, будучи диаметром, сопряженным оси абсцисс, имеет уравнение (2), которое должно быть равносильно уравнению

Значит, коэффициенты

уравнения (2) должны быть пропорциональны коэффициентам

уравнения оси т. е.

следовательно, уравнение (3) имеет вид

Итак, если оси координат образуют пару сопряженных диаметров данной (произвольной) центральной кривой второго порядка, то уравнение этой кривой в этой системе координат имеет вид (4) (рис. 182).

Случай распадающейся центральной кривой характеризуется тем, что в уравнении (4) имеем (центр, т. е. начало координат, есть точка кривой) (рис. 183).

Пусть теперь кривая (1) (уравнение которой уже приведено к виду ) есть кривая параболическая. Тогда но в уравнении (3) коэффициент значит, а так как то .

Итак, если в случае параболической кривой ось ординат направлена по произвольному, неасимптотическому направлению, а ось абсцисс есть диаметр, сопряженный этому направлению следовательно, имеющий асимптотическое направление), то уравнение кривой в этой системе координат имеет вид

Рис. 182.

Рис. 183.

Рис. 184.

Если наша кривая распадается на пару параллельных прямых (рис. 184), то т. е.

Так как то непременно и уравнение (5) необходимо имеет вид

Если же наша кривая есть нераспадающаяся параболическая кривая, то непременно .

Сделаем теперь перенос начала в точку пересечения О кривой с осью т. е. преобразование координат

где определено требованием, чтобы точка удовлетворяла уравнению (5), т. е. чтобы было

В преобразованной системе координат уравнение (5) приобретает вид

т. е. вид

Найдем точки пересечения оси ординат с параболой. Для этого положим в уравнении получим т. е. ось ординат пересекается с параболой в двух сливающихся точках (совпадающих с точкой О) и, следовательно, является касательной к параболе (рис. 185).

Рис. 185.

Рис. 186.

Если при этом ось абсцисс перпендикулярна оси ординат, то, деля пополам перпендикулярные ей хорды, она окажется осью параболы (рис. 186).