§ 6. Простейшие теоремы о группах

1. Аксиома ассоциативности. Аксиома ассоциативности имеет в теории групп очень большое значение: она позволяет определить не только произведение двух, но и произведение трех и вообще любого конечного числа элементов данной группы .

В самом деле, если даны, положим, три элемента группы О, то мы пока еще не знаем, что значит перемножить эти три элемента: ведь аксиомы группы говорят лишь о произведении двух множителей и выражения вида еще не определены. Однако условие ассоциативности гласит, что, перемножая, с одной стороны, два элемента и с другой стороны, два элемента мы получим один и тот же элемент который и обозначаем через .

Таким же точно образом можно определить произведение четырех элементов например, как

Аналогично определяется произведение любого числа элементов группы.

2. Нейтральный элемент. Условие существования нейтрального элемента гласит: в группе существует некоторый элемент такой, что для любого элемента g группы выполнено условие

В этом условии не содержится утверждения, что не может быть в данной группе второго элемента , отличного от , но обладающего тем же свойством

для любого .

Отсутствие такого второго элемента вытекает из следующей более сильной теоремы, которую иногда называют теоремой о единственности нейтрального элемента.

Теорема 6. Если для какого-нибудь определенного элемента g группы G найден элемент удовлетворяющий одному из условий

то непременно

Доказательство. Предположим сначала, что . Заметим прежде всего, что для любого элемента g имеем

что при замене через дает

Точно так же имеем

Итак, для любого имеем Возьмем, в частности, Получаем

Но по определению элемента имеем, с другой стороны,

Из уравнений (2) и (3) следует:

что и требовалось доказать.

Совершенно аналогичным образом можно вывести тождество из предположения .

3. Обратный элемент. Условие существования обратного элемента гласит: для каждого элемента g существует определенный элемент такой, что

Здесь опять-таки утверждается лишь существование элемента а никак не единственность его. Докажем эту единственность, т. е. докажем следующую теорему.

Теорема 7. Если для данного g имеем какой-нибудь элемент g, удовлетворяющий одному из условий

то непременно

Доказательство. Пусть

Отсюда следует, что

т. е.

следовательно,

отсюда

Совершенно аналогичным образом можно из предположения вывести

Итак, для данного g существует единственный элемент g, удовлетворяющий равенству или равенству а именно элемент

Возьмем теперь элемент . Элемент удовлетворяет равенству т. е. является для элемента обратным элементом. Итак,

4. Замечания об аксиомах понятия группы. Мы не ставили себе задачей дать наименьшее число требований, достаточных для определения понятия группы. Действительно, мы потребовали, чтобы нейтральный элемент удовлетворял сразу условиям

для всех элементов а обратный элемент к любому элементу - условиям

Между тем на основании доказанного в пп. 2 и 3 настоящего параграфа достаточно было бы потребовать, чтобы выполнялось одно какое-нибудь из условий

а также одно какое-нибудь из условий

Наконец, заметим, что в определении группы (§ 5) условие существования нейтрального элемента и условие существования обратного элемента ко всякому данному можно было бы заменить одной следующей аксиомой:

Ко всяким двум, элементам а и b группы G можно найти элементы х и у такие, что .

Доказательство предлагаем провести самому читателю (или прочитать его, например, в книге А. Г. Куроша «Теория групп»).

5. Понятие подгруппы. Определение. Если дана какая-нибудь группа G и если множество , состоящее из некоторых элементов группы G, образует (при композиции, господствующей в G) группу, то группа называется подгруппой группы

Таким образом, аддитивная группа целых чисел является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел, а эта последняя — подгруппой аддитивной группы всех вещественных чисел. Читатель легко докажет, что множество всех четных перестановок из элементов есть подгруппа множества всех перестановок из этих элементов и т. д.

6. Условие, чтобы подмножество группы было подгруппой.

При доказательстве того, что некоторое подмножество группы G является подгруппой, удобнее всего бывает пользоваться следующей общей теоремой:

Подмножество группы G тогда и только тогда является подгруппой группы G, если выполнены следующие условия:

1. Произведение всяких двух элементов из (в смысле умножения, определенного в G) есть элемент множества .

2. Нейтральный элемент группы G есть элемент множества Ж.

3. Элемент, обратный к какому-нибудь элементу множества , есть элемент множества .

Для доказательства достаточно заметить, что наши условия выражают как раз требование, чтобы умножение, определенное в G, но применяемое лишь к элементам множества удовлетворяло всем аксиомам группы (ассоциативности требовать не нужно: будучи выполнена при умножении любых элементов множества G, она тем более выполнена в частном случае, когда эти элементы являются элементами множества ).