§ 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы
Начнем со следующей простой леммы.
Пусть
. Всякая
-мерная плоскость
в
-мерном аффинном пространстве
содержится в некоторой
-мерной плоскости.
В самом деле, возьмем в
какую-нибудь линейно независимую систему, состоящую из
векторов их,
. Так как
, то эта система может быть дополнена до линейно независимой системы, состоящей из
векторов
)
. Эти векторы порождают
-мерное подпространство
векторного пространства
всех векторов, лежащих в
. Произвольная точка А и векторное многообразие
определяют
-мерную плоскость
, очевидно, содержащую плоскость
.
Пусть в пространстве
дано множество, состоящее из конечного числа,
, точек
Рассмотрим всевозможные векторы
, ведущие из любой из этих точек в любую другую. Подпространство, порожденное всеми этими векторами (в пространстве всех вообще векторов, лежащих в
), обозначим через
, его размерность — через
. Так как
то все векторы
линейно выражаются через векторы, ведущие из одной какой-нибудь фиксированной точки (1), например из точки
, во все остальные, так что множество, состоящее из векторов
является системой образующих пространства
, максимальное число линейно независимых среди них равно размерности
всего пространства
, и, значит,
Нумерацию точек (1) выберем так, чтобы первые
среди векторов
, т. е.
составляли линейно независимую систему. Тогда
-мерная плоскость
, натянутая на точку
и векторы (3), содержа все векторы (2), содержит и все концы этих векторов, т. е. все точки (1).
Не существует плоскости размерности
, которая содержала бы все точки (1), так как тогда в этой плоскости лежали бы и все векторы (3), что противоречит их линейной независимости. Всякая плоскость, содержащая все точки (1), содержит как точку
так и векторы (3), значит, содержит и плоскость
, натянутую на них. Итак, доказано следующее предложение:
Пусть дано конечное множество точек
пространства
. Тогда определено наименьшее число
, являющееся размерностью плоскости пространства
, содержащей все эти точки (1); это число (которое можно было бы назвать «мерой независимости» точек
) равно наибольшему числу линейно независимых среди векторов, ведущих из какой-нибудь определенной точки системы (1) (например, из точки
) во все остальные точки этой системы. При этом имеется одна - единственная
-мерная плоскость, содержащая все точки (1), и эта
-мерная плоскость
называется плоскостью, натянутой на точки
.
Дополним этот результат следующим определением:
Если
, т. е. если мера независимости точек
имеет наибольшее возможное значение
, то точки
называются геометрически, независимыми (или просто независимыми) между собою в пространстве
.
Из предыдущего следует:
Точки
тогда и только тогда геометрически независимы, когда векторы
линейно независимы, или, что то же, когда точки (1) (векторы
) не лежат ни в какой плоскости размерности
.
Во всякой
-мерной плоскости пространства
можно (бесконечным числом различных способов) выбрать независимую систему из
точек; всякая независимая система из
точек
-мерного аффинного пространства
содержится в единственной
-мерной плоскости этого пространства.
Рассмотрим в пространстве
независимую систему из
точек, заданных своими координатами (в какой-нибудь системе координат пространства
):
Единственную
-мерную плоскость, содержащую эти точки, обозначим через
.
Положим
Тогда
Плоскость
натянута на точку
и векторы
, поэтому координаты
любой точки
плоскости
однозначно записываются в виде
Давая параметрам
всевозможные действительные значения, получим из уравнений (5) всевозможные точки
плоскости
и только точки этой плоскости.
Положим
Тогда система равенств (5) переходит в систему равенств
что мы кратко переписываем в виде одного равенства
.
— точка М есть взвешенная сумма точек
, взятых соответственно с весами
, кг Веса
, в равенстве (6) пробегают всевозможные действительные значения, связанные единственным соотношением
т. е.
Для каждой точки
единственным образом определяются удовлетворяющие условию (7) числа
- веса точки М во взвешенной сумме (6).
Обратно, всякий набор чисел
, удовлетворяющих условию (7), однозначно определяет по формулам (6) или (6) точку если дана независимая система точек
.
Коэффициенты
в представлении (6) или (6) называются барицентрическими координатами точки М относительно системы точек
в
-мерной плоскости
, определенной этими точками.
Множество
точек все барицентрические координаты которых (относительно системы
) положительны называется
-мерным открытым симплексом с вершинами
точки, барицентрические координаты которых относительно той же системы
неотрицательны, образуют, по определению, замкнутый симплекс с вершинами
.
Очевидно, замкнутый симплекс содержит в себе открытый симплекс с теми же вершинами.
Мы уже видели, что одномерный симплекс с вершинами
есть просто отрезок
(открытый, соответственно
Легко доказать, что двумерный симплекс с вершинами
есть просто открытый треугольник (т. е. множество всех внутренних точек этого треугольника).
В самом деле, всякая внутренняя точка М треугольника есть внутренняя точка единственного отрезка вида
, где М есть (внутренняя) точка отрезка
(рис. 154).
Поэтому
Подставляя
в (8'), получим
т. е.
где
Рис. 154.
При этом все числа
положительны и
Обратно, пусть
, причем
Можно написать
где
значит,
Точка
есть внутренняя точка отрезка
, где
, так что М есть внутренняя точка отрезка
, т. е. внутренняя точка треугольника
.
Читателю предоставляется самому убедиться (основываясь на только что доказанном и продолжая рассуждать аналогичным образом), что трехмерный открытый симплекс с вершинами
есть (открытый) тетраэдр
.
Замечание. Множество X точек
-мерного пространства
называется выпуклым, если, каковы бы ни были две точки Р и Q этого множества, оно содержит и все точки отрезка
.
Все пространство
, а также всякая лежащая в нем плоскость, является выпуклым множеством. Выпуклым множеством является также и симплекс любого числа измерений (как открытый, так и замкнутый), а также любой параллелепипед (пусть читатель докажет все эти утверждения). Выпуклым является также как пустое множество, так и всякое одноточечное множество, т. е. множество, состоящее лишь из одной точки. Имея в виду последнее утверждение, читатель легко докажет важную теорему: пересечение любой (конечной или бесконечной) совокупности выпуклых множеств, лежащих в данном
, есть выпуклое множество. Всякое множество X, лежащее в
, содержится в некотором выпуклом множестве (за которое можно взять, например, все пространство
). Поэтому можно говорить о (непустой) совокупности всех выпуклых множеств
, содержащих данное произвольное множество
.