Задачи к главе V

Задача 14. Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой К, лежащей на стороне ВС и делящей отрезок ВС в отношении Вершина В соединена с точкой L стороны CD, делящей отрезок DC в отношении . В каком отношении точка М пересечения прямых DK и BL делит направленные отрезки DK и

Решение. Примем за начало системы координат вершину А, а за единичные векторы оси абсцисс и ординат соответственно векторы AD и АВ. Тогда будем иметь:

Пусть точка М имеет координаты у и делит отрезок DK в отношении а отрезок BL в отношении Найдем координаты точки М, решая совместно уравнения прямых DK и

или

или

Решая совместно уравнения прямых DK, и BL, найдем:

Задача 15. Относительно аффинной системы координат даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма

и точка пересечения его диагоналей . Написать уравнения двух других его сторон.

Решение. Так как искомые стороны параллельны данным, то их уравнения можно написать в виде

взяв при х и у те же коэффициенты, что и в уравнениях данных сторон. Свободные члены можно найти, используя то обстоятельство, что еслн точка М лежит между двумя параллельными прямыми на одинаковом расстоянии от этих прямых и коэффициенты соответствующих неизвестных в уравнениях этих прямых одинаковы, то результаты подстановки координат точки в левые части уравнений прямых равны по абсолютной величине и противоположны но знаку Таким образом,

и

Из этнх равенств и определяются свободные члены и искомых сторон параллелограмма:

Задача 16. Относительно аффинной системы координат даны две пересекающиеся прямые и точка не принадлежащая ни одной из данных прямых. Найти напранлемия сторон того из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором лежит данная точка М.

(Говорят, что точка М лежит внутри угла, сторонами которого служат лучн h, k, если точка М и луч k лежат по одну сторону от прямой, содержащей луч h, и точка М и луч h лежат по одну сторону от прямой, содержащей луч к.)

Решение. Пусть — точка пересечения данных прямых. Точка А делит первую прямую на два луча: направление одного из них определяется вектором направление другого — вектором . Если отложить эти векторы от точки А, то конец нужного нам вектора должен лежать по ту сторону от второй прямой, что и точка М.

Пусть В — конец вектора отложенного от точки А; тогда

Чтобы узнать, удовлетворяет ли условию задачи вектор вектор, ему противоположный, подставим в левую часть уравнения второй прямой координаты точек М и В. Если получатся числа одного знака, то вектор годится. Если же получатся числа разных знаков, то условию задачи удовлетворяет вектор Имеем

так как .

Таким образом, вектор годится, если числа

одного знака. В противном случае условию задачи удовлетворяет вектор .

Точно так же найдем нужный вектор на второй прямой. Это будет вектор если числа

одного знака. В противном случае условию задачи удовлетворяет вектор .

Задача 17. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка лежала внутри треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

(Говорят, что точка М лежит внутри треугольника ABC, если она расположена по одну сторону от прямой АВ вместе с точкой С, по одну сторону от прямой ВС вместе с точкой А, по одну сторону от прямой С А вместе с точкой В.)

Решение. Найдем координаты точки С пересечения первой и второй прямой и подставим их в левую часть уравнения третьей прямой.

Имеем:

Для того чтобы точки М и С лежали по одну сторону от прямой АВ, необходимо и достаточно, чтобы числа имели одинаковые знаки, а для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы были одинаковые знаки у чисел

Точно так же убедимся, что для того, чтобы точки М и В лежали по одну сторону от прямой АС, необходимо и достаточно, чтобы были одинаковые знаки у чисел

Наконец, чтобы точки М и А были расположены по одну сторону от прямой ВС, необходимо и достаточно, чтобы были одинаковы знаки чисел

Отсюда следует, что если точка лежит внутрн треугольника, то числа

либо имеют, соответственно, такие же знаки, как определители

либо знаки, им противоположные.

Обратно, если это условие выполнено, то числа

либо имеют одинаковые знаки с числами

либо знаки, им противоположные. В первом случае точка М лежит по ту же сторону от прямой ВС, что и точка А, по ту же сторону от прямой АС, что и точка В, и по ту же сторону от прямой АВ, что и точка С, т. е. является внутренней точкой для треугольника

Второй случай не может иметь места, так как, какова бы ни была точка М, не лежащая ни на одной из прямых АВ, ВС и СА, по крайней мере одна из полуплоскостей, определяемых этими прямыми, одновременно содержит и точку М, и вершину треугольника, противолежащую этой прямой. Но в этом случае результат подстановки координат точки М в левую часть уравнения соответствующей прямой имеет знак, одинаковый с одним из написанных выше отношений детерминантов.

Итак, для того чтобы точка лежала внутри треугольника, образованного прямыми

необходимо и достаточно, чтобы числа

имели соответственно такие же знаки, как определители

либо знаки, им противоположные.

Задача 18. Относительно прямоугольной системы координат даны уравнения двух прямых

и точка Написать уравнения биссектрисы того угла между данными прямыми, в котором лежит точка А.

Решение. Пусть — произвольная точка искомой биссектрисы, лежащая внутри юго угла между данными прямыми, в котором содержится точка А.

Так как расстояния от точки М до данных прямых равны, то

Так как, далее, точки А и М лежат внутри одного угла, то они расположены по одну сторону как от первой прямой, так и от второй прямой. Поэтому числа

имеют одинаковые знаки; числа

также имеют одинаковые знаки.

В уравнении (1) дроби, стоящие в левой и правой частях, равны по абсолютной величине. Они имеют одинаковые знаки, если одинаковы знаки чисел

н противоположные знаки, если различны знаки чисел (2).

Поэтому уравнение искомой биссектрисы будет

если числа

одного знака, и

если числа

разных знаков.

Задача 19. Написать уравнения биссектрис внутренних углов треугольника, стороны которого заданы уравнениями

в прямоугольной системе координат.

Решение. Найдем биссектрису внутреннего угла С, образованного первой и второй прямыми. Пусть — произвольная точка этой биссектрисы, лежащая внутри треугольника. Так как расстояния от точки М до прямых СА и СВ рамы между собой, то

Так как, далее, М — внутренняя точка треугольника ABC, то точки М и А лежат но одну сторону от прямой ВС, а точки А и В — по одну сторону от прямой АС. Поэтому числа

имеют соответственно или такие же знаки, как определители

или знаки, им противоположные.

Таким образом, уравнение искомой биссектрисы внутреннего угла С будет

Если определители имеют одинаковые знаки, и

если знаки этих определителей противоположны.

Аналогично найдем, что биссектриса внутреннего угла А между второй и третьей прямыми имеет уравнение

причем знак плюс или минус берется в зависимости от того, будут ли определители

одного или разных знаков.

Уравнение биссектрисы внутреннего угла В, образованного третьей и первой прямыми, будет

знак плюс берется, если определители

имеют одинаковые знаки, и знак минус, если знаки определителей различны.

Задача 20. Даны две пересекающиеся прямые

и точка не принадлежащая ни одной из данных прямых. Найти косинус того угла между данными прямыми, в котором лежит данная точка. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Согласно замечанию, сделанному в § 9 главы V на стр. 109, угол между векторами

равен тому из углов между данными прямыми, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, определяемым данными прямыми. Поэтому, (1) если числа

имеют разные знаки, то угол , образованный данными прямыми и содержащий внутри себя точку равен углу (5 между векторами и и потому в рассматриваемом случае

(2) Если числа

имеют одинаковые знаки, то угол между векторами и равен углу между данными прямыми, смежному с тем, в котором лежит точка а, откуда Следовательно, в настоящем случае

Итак,

причем перед дробью берется знак плюс или минус в зависимости от того, имеют ли числа

разные или одинаковые знаки.

Задача 21. Даны две пересекающиеся не перпендикулярные прямые

Написать уравнение биссектрисы острого угла между ними. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Пусть — произвольная точка искомой биссектрисы. Так как ее расстояния до данных прямых раины между собой, то

Согласно замечанию § 9 главы V, угол между векторами

равен тому из углов, образованных данными прямыми, внутри которого лежат точки, принадлежащие разноименным полуплоскостям, определяемым данными прямыми.

Поэтому, если угол между векторами острый, т. е. если

то все точки, лежащие внутри острых углов, образуемых данными прямыми, и, в частности, точки искомой биссектрисы принадлежат разноименным полуплоскостям, определяемым данными прямыми. Это означает, что числа

имеют противоположные знаки, и потому в рассматриваемом случае уравнение искомой биссектрисы будет

Если угол между векторами тупой, т. е. если

То для точек, лежащих внутри острых углов, образуемых данными прямыми, и, в частности, для точек искомой биссектрисы числа

имеют одинаковые знаки, и потому уравнение искомой биссектрисы в этом случае будет

Итак, уравнение биссектрисы острого угла между прямыми

имеет вид

причем знак минус или плюс берется в зависимости от того, будет ли выражение больше или меньше нуля.

Задача 22. Определить внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

(Система координат прямоугольная.)

Решение. Найдем тангенсы внутренних углов треугольника. Занумеруем каким-либо образом стороны треугольника числами 1, 2, 3 и обозначим через углы от первой прямой до второй, от второй до третьей и от третьей до первой.

Докажем, что положительные значения всех трех углов заключенные между , являются либо значениями внутренних углов треугольника, либо значениями его внешних углов.

При определении угла от первой прямой ВС до второй прямой СА за направляющие векторы этих прямых возьмем векторы СВ и СА. Угол от второй прямой СА до третьей прямой АВ определим как угол от вектора АС до вектора АВ. Наконец, угол от третьей прямой АВ до первой прямой ВО определим как угол от вектора ВА до вектора ВС. Так как упорядоченные пары векторов имеют одну и ту же ориентацию, то все три угла: от СВ до СА, от АС до АВ и от ВА до ВС — будут положительны, если указанные пары векторов имеют положительную ориентацию, и отрицательны в противном случае.

Если рассматриваемые углы оказываются положительными, то они являются внутренними углами треугольника.

Предположим, что все три угла: от СВ до СА, от АС до АВ и от ВА до ВС — оказываются отрицательными. Тогда будут положительными углы: от — СВ до СА, от — АС до АВ и от — ВА до ВС, т. е. внешние углы треугольника .

До сих нор мы пользовались специальным выбором направляющих векторов прямых ВС, СА и АВ. Но тангенс угла от одной прямой до другой не зависит от того, какие направляющие векторы мы берем на рассматриваемых прямых.

Тангенсы углов находятся по формулам:

или, если , по формулам:

Если все три числа положительны пли два из них положительные, а одно отрицательное, то — внутренние углы треугольника. Если же все три тангенса или по крайней мере два из них отрицательны, то углы будут внешними углами треугольника. В этом случае мы получим тангенсы его внутренних углов, взяв числа с обратными знаками.

Задача 23. Дано уравнение стороны АВ

треугольника ABC, координаты противолежащей вершины и тангенсы внутренних углов, прилежащих к данной стороне, . Написать уравнения двух других сторон треугольника. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Занумеруем стороны треугольника каким-либо образом числами 1, 2, 3 и будем обозначать угол от первой стороны до второй через угол от второй стороны до третьей через угол от третьей стороны до первой через Тогда все эти углы будут либо внутренними, либо внешними углами треугольника.

Пусть, например, АВ — первая сторона треугольника, АС — вторая, ВС — третья его стороны. Возможны два случая.

1) Все три угла — внутренние углы треугольника, тогда

Обозначим через угловые коэффициенты прямых АВ, АС и ВС. Имеем:

или

2) Все углы — внешние для треугольника ABС. Тогда

или

или