Задачи к главе XV

Задача 64. Даны две точки на расстоянии 2а друг от друга: . Найти геометрическое место точек, произведение расстояний которых до точек равно

Решение. Введем прямоугольную систему координат, принимая за ось абсцисс прямую а за ось ординат перпендикуляр к прямой проведенный через середину О отрезка этой системе

Пусть произвольная точка искомого геометрического места. Тогда

или, в координатах,

Преобразуя это уравнение, приведем его к виду

Перейдем к полярным координатам, принимая за полюс точку О, а за полярную ось луч . Имеем

Вставляя эти значения х и у в уравнения (1), получим

или

(сокращая на мы не потеряли ни одной точки, так как значение подумается при ).

По уравнению (2) нетрудно составить себе представление о полученной кривой. Она изображена на рис. 255. Эта кривая носит название лемнискаты Бернулли.

Задача 65. Дана точка О и прямая d на расстоянии от точки О (рис. 256). Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую d в переменной точке В. На этом луче по обе стороны от точки В откладываются отрезки

где А — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую

Составить уравнение линии, описываемой точками в полярной системе координат, принимая за полюс точку О, а за полярную ось луч ОА.

Рис. 255.

Рис. 256.

Перейти затем к декартовым координатам, взяв прямоугольную систему координат, соответствующую данной полярной системе.

Решение. Точки кривой будут получаться для значений , лежащих в интервале

пусть сначала

Обозначим через точку луча ОВ, ближайшую к точке О, а через — точку, лежащую за прямой d. Тогда

Итак,

Оба уравнения можно объединить и одно, записав их в виде

При

точки совпадают с точкой А.

Когда возрастает, оставаясь положительным, монотонно убывает

В самом деле, в равенстве

умножим и разделим правую часть на тогда это равенство после упрощений примет вид

откуда и следует, что монотонно убывает с возрастанием и стремится к нулю при

Таким образом, когда возрастает от нуля до точка описывает дугу, начинающуюся в точке А, концом которой является точка О, предельная для этой дуги, но ей не принадлежащая.

Посмотрим теперь, как ведет себя точка когда оставаясь положительиым, возрастает от 0 до . Из выражения для гг непосредственно видно, что монотонно возрастает с возрастанием и при

Выясним, не будет ли у нашей кривой асимптот. Найдем абсциссу точки

Отсюда следует, что при , т. е. что прямая

является вертикальной асимптотой пашей кривой.

Из выражений для видно, что, когда меняется от 0 до , точка описывает кусок кривой, асимптотически приближающейся к прямой

а точка описывает дугу, начинающуюся и точке А и имеющую точку О своей предельной точкой.

Из этих соображений можно составить себе представление о виде кривой. Она изображена на рис. 256. Эта кривая называется строфоидой.

Переходим к декартовым координатам. Положим

и подставим эти значения в уравнение (3). Мы будем иметь

или

Возводим это равенство в квадрат:

и освобождаемся от знаменателя, умножая обе части равенства на получим

или (после небольших преобразований)

или, наконец, деля обе части равенства на

Уравнения (4) и (5) не равносильны: координаты , не удовлетворяя уравнению (4), обращают в нуль левую часть уравнения (5). Постороннее решение получилось от умножения обеих частей уравнения на (мы сначала умножили обе части уравнения на а потом после преобразований, не нарушающих равносильности, разделили обе части уравнения на возведение в квадрат обеих частей уравнения (4) посторонних решений не принесло, так как справа стоял двойной знак

Строфоида—кривая третьего порядка.

Задача 66. По окружности радиуса а с центром в начале прямоугольной системы координат перемещается точка С. Из этой точки опускаются перпендикуляры: СА — на ось СВ — на ось и СМ — на прямую АВ (рис. 257). Линия, описываемая точкой М при движении точки С по окружности, называется астроидой. Составить параметрические уравнения астроиды, принимая за параметр угол от оси до луча ОС.

Решение. Опустим из точки М перпендикуляры МР и MQ на оси Тогда будем иметь

Далее,

и, наконец,

Сопоставляя полученные равенства, найдем

Точно так же, рассматривая последовательно треугольники РМА, MCA и АОС, найдем:

откуда

Так как точки С и М всегда принадлежат одной и той же четверти, то отсюда следует, что знаки х и у совпадают соответственно со знаками и .

Рис. 257.

Рис. 258.

Поэтому для астроиды (рис. 258) получаем следующие параметрические уравнения:

Замечание. Возводя каждое из этих равенств в степень с показателем — и складывая, исключим параметр t и получим уравнение астроиды в виде

Задача 67. Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении окружности

вокруг оси .

Решение. Пусть — произвольная точка искомой поверхности, - расстояние точки до оси .

По определению поверхности вращения вместе с точкой М ей принадлежат и все точки окружности радиуса d с аппликатой и с центром на оси .

Рис. 259.

Эта окружность пересекает плоскость в двух точках . По крайней мере одна, из этих точек принадлежит линии, от вращения которой получается данная поверхность, в нашем случае — окружности

Другая точка принадлежит линии, лежащей в плоскости и симметричной с данной линией относительно оси . В нашем случае это будет окружность

По определению при вращении обе линии дают одну и ту же поверхность. Таким образом, имеют место равенства

Но

Поэтому имеем:

После возведения в квадрат, что не приносит посторонних решений благодаря двойному знаку ?, и простых преобразований получим окончательно

или

Эта поверхность называется тором (рис. 259).