§ 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными
1. Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду при помощи преобразований прямоугольных координат. Первый шаг заключается в том, чтобы поворотом начального прямоугольного репера 
на некоторый угол а преобразовать квадратичную форму 
старших членов многочлена
к каноническому виду
Итак, делаем преобразование координат
Получаем тождественно
где
(3)
Определим угол 
требованием, чтобы было 
т. е. требованием
или
(4)
причем естественно предположить, что 
(при 
нечего было бы делать — форма 
уже имела бы вид 
Из (4) получаем
Так как 
то по формуле (5) нужный нам угол а всегда можно определить.
Замечание. Можно определить угол 
и так: перепишем (4) в виде
т. е.
откуда
Так как 
может принимать всевозможные действительные значения, то найти нужное а всегда можно.
Полагая для сокращения письма 
сформулируем полученный результат.
Поворотом координатной системы 
на угол а (определяемый из (5) или (5), можно преобразовать квадратичную форму
к каноническому виду
а весь многочлен 
— к виду
Оба коэффициента и 
не могут одновременно быть нулями: если бы было 
то многочлен второй степени 
при преобразовании (2) перешел бы в многочлен первой степени, что, как мы знаем, невозможно.
Итак, возможны два основных случая:
1° 
.
2° Один из двух коэффициентов 
отличен от нуля, другой равен нулю.
2. Первый основной случай: 
При переносе начала координат в какую-нибудь точку 
т. е. при преобразовании
многочлен 
принимает вид 
где свободный член 
есть (гл. XV, § 2)
Подберем теперь такие координаты 
унового начала 
чтобы коэффициенты при 
и 
в (6) обратились в нуль, т. е. чтобы
Так как 
то уравнения (7) дают нужные значения
для 
Итак, в системе координат Оеег первоначальное уравнение 
нашей кривой преобразуется к виду
Переходим к исследованию уравнения (8). Имеем два случая: Случай А — гиперболический: коэффициенты 
разных знаков.
Случай Б — эллиптический: коэффициенты 
одного и того же знака.
А. Гиперболический случай. Пусть сначала 
один из коэффициентов 
имеет тот же знак, что и 
пусть это будет, например, 
тогда 
противоположны по знаку. Переписываем уравнение (8) в виде
Знаменатель — в нервом члене есть положительное число; обозначаем его через 
знаменатель — отрицателен; обозначаем его через 
. Уравнение (8), т. е. уравнение (8), приняло вид
Это — каноническое уравнение гиперболы.
Если в гиперболическом случае 
то можно без ограничения общности предположить, что 
введем обозначения 
уравнение (8) переписывается в виде
Это — уравнение пары прямых, пересекающихся в начале координат О. Уравнение (9) считаем каноническим уравнением кривой, распадающейся на пару действительных пересекающихся прямых.
Итак, в гиперболическом случае уравнение (8) определяет гиперболу, или пару пересекающихся прямых.
Б. Эллиптический случай. Теперь 
одного знака. Снова предполагаем сначала, что 
. Если общий знак чисел и 
противоположен знаку 
то, переписав уравнение (8) в виде (8), видим, что оба знаменателя 
положительны; обозначив их соответственно через 
получим
— каноническое уравнение эллипса с полуосями 
.
Если же общий знак и 
совпадает со знаком 
то знаменатели в 
и мы получаем уравнение
Это — уравнение «мнимого эллипса», или эллипса с мнимыми полуосями 
нет 
одной действительной точки плоскости, которая бы этому уравнению удовлетворяла.
Пусть теперь в эллиптическом случае 
Уравнение (8) принимает вид
Так как и 
одного знака, то это уравнение можно переписать в виде
Это — каноническое уравнение кривой, распадающейся на пару пересекающихся мнимых сопряженных прямых; оно удовлетворяется единственной действительной точкой О — точкой пересечения двух мнимых сопряженных прямых
Итак, в эллиптическом случае уравнение (8) — а значит, и начальное уравнение (
- определяет или обычный эллипс («действительный»), или «мнимый» эллипс, или пару мнимых сопряженных прямых с одной общей действительной точкой.
3. Второй основной случай: Пусть из коэффициентов
в уравнении (1') один, например отличен от нуля, а 
Тогда в системе координат 
уравнение
приняло бы вид
Имеются две дальнейшие возможности:
А. 
. Тогда уравнение (12) можно решить относительно 
т. е. представить его в виде
— наша кривая есть график трехчлена второй стеиени, т. е. пара бола.
Б. 
Тогда уравнение (12) есть
Это — квадратное уравнение относительно 
оно имеет два решения:
— мы имеем пару параллельных прямых (14) — действительных, если корни 
квадратного уравнения (13) действительны, мнимых и сопряженных, если таковы корни 
уравнения (13). Наконец, если 
то говорят, что уравнение (12), а значит и уравнение (1), опредстяет пару слившихся (или совпадающих) действительных прямых.
Подведем общий итог.
Всякая кривая второго порядка есть
или эллипс (действительный или мнимый),
или гипербола,
или парабола,
или пара прямых: пересекающихся (действительных или мнимых
сопряженных),
параллельных (в собственном смысле) (действительных или мнимых сопряженных),
совпадающих (действительных).
Приведенное доказательство этого результата содержит в себе и способ определения вида кривой по ее уравнению, однако практически удобным этот способ не является; удобный способ будет дан в следующих параграфах.
