§ 7. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Нормальное уравнение прямой на плоскости

До сих пор предполагалось, что на плоскости дана произвольная аффинная система координат.

Предположим теперь, что эта система координат прямоугольная. Тогда уравнению всякой прямой на плоскости может быть придан так называемый нормальный вид.

Рассмотрим орт , перпендикулярный к нашей прямой d, причем если прямая d проходит через начало координат, то понимаем под произвольный из двух взаимно противоположных ортов, перпендикулярных к прямой d, а если эта прямая не проходит через начало координат, то обозначаем через тот из этих двух ортов, который направлен от начала координат О к прямой (т. е. имеет направление, совпадающее с направлением вектора ON, где - точка пересечения прямой d с перпендикуляром, опущенным на нее из начала координат) (рис. 71). Отсюда следует, что на оси, несущей вектор

(или, что то же, орт ), имеем

где есть расстояние от начала координат до прямой d. Обозначая координаты орта через , имеем , где a — угол наклона орта к оси абсцисс . Итак,

Пусть — какая-нибудь точка плоскости. В том и только в том случае, когда точка М лежит на прямой d, ее (ортогональная) проекция на прямую ON совпадает с точкой N, а проекция вектора

ОМ совпадает с вектором ON. Следовательно, для всех точек прямой d и только для этих точек выполнено условие

Так как , то (см. (1) § 3 главы IV) имеем

так что условие (2) переписывается в виде уравнения

Это уравнение и называется нормальным уравнением прямой .

Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение

нашей прямой .

Рис. 71.

Так как уравнения (3) и (4) являются уравнениями одной и той же прямой в одной и той же системе координат, то существует такое число X, что коэффициенты уравнения (3) получаются из коэффициентов уравнения (4) умножением на X:

Последнее из уравнений (5) (в случае позволяет сразу определить знак X: так как , то

и знак X противоположен знаку С.

Для определения модуля числа X возводим каждое из двух первых уравнений (5) в квадрат и складываем. Получаем

Откуда

Число , модуль которого есть , а знак противоположен знаку С, называется нормирующим множителем уравнения (4); при знак можно выбрать произвольно.

Умножая обе части уравнения (4) на нормирующий множитель , мы превращаем это уравнение в нормальное уравнение (3) той же прямой.

Заметим, что вектор всегда перпендикулярен к прямой (4). Это вытекает из того, что векторы коллинеарны (так как первый получается из второго умножением на ), а вектор перпендикулярен к прямой d, определяемой уравнением (4).

То же утверждение можно доказать, вспомнив, что всякий вектор , лежащий на прямой (4), удовлетворяет условию

, которое и означает взаимную перпендикулярность векторов (значит, и перпендикулярность между вектором и прямой ).