ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. МАТРИЦЫ

§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой

1. Переход от одной аффинной системы координат к другой с тем же началом. Переход от одного базиса к другому. Матрица, обратная к данной. Как мы знаем, аффинная координатная система, или, как мы будем кратко говорить, аффинный репер, в пространстве есть тройка некомпламарных векторов , данных в определенном порядке и приложенных к точке О — началу репера.

Тройка векторов называется иногда базисом репера (или координатной системы); название основано на том, что эти векторы образуют базис многообразия всех (свободных) векторов трехмерного пространства.

Если наряду с репером , который будем условно называть «старым», дан «новый» репер с началом О и базисом , то возникает общая задача преобразования координат, сформулированная еще в главе III, § 2: по координатам произвольной точки М (произвольного вектора в одной из двух систем координат найти координаты той же точки (того же вектора) в другой системе. Простейший случай этой задачи — когда оба репера имеют один и тот же базис и отличаются между собою только началом — уже был рассмотрен в главе III, § 2. Предположим теперь, что оба репера имеют одно и то же начало О. Тогда новый репер вполне определен, если заданы векторы , своими координатами (относительно старого базиса), т. е. если даны коэффициенты в равенствах

Матрица

называется матрицей перехода от базиса к базису , а также матрицей перехода от первого репера ко второму. Так как векторы линейно независимы, то детерминант матрицы отличен от нуля — матрица перехода от одного базиса к другому есть всегда невырождающаяся матрица. Так как векторы образуют базис, то каждый из векторов в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векторов :

— уравнения (1) однозначно разрешимы относительно старых единичных векторов .

Посмотрим, как связаны между собою координаты х, у, z и произвольной точки М (произвольного вектора ) в старой и новой координатных системах.

Вектор и — ОМ записывается, во-первых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами х, у, z и, во-вторых, как линейная комбинация векторов с коэффициентами , так что имеем тождество

Вносим в это тождество выражения из (1); получаем

или, группируя по новому члены,

Но вектор и единственным образом представляется как линейная комбинация векторов , следовательно, коэффициенты при векторах в левой и правой частях последнего равенства должны быть одни и те же, т. е.

Эти формулы и выражают старые координаты х, у, z точки М (вектора и) через новые. Матрица

дающая это выражение, называется матрицей преобразования координат; она является транспонированной по отношению к матрице А перехода от базиса к базису . Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детерминант. Следонательно, уравнения (2) однозначно решаются относительно по правилу Крамера:

Разлагая в этих формулах числители по элементам столбца х, у, z, получаем

где

есть адъюнкта элемента в матрице А.

Определение. Пусть матрица А — невырождающаяся матрица. Матрица

где определены формулами (3), называется матрицей, обратной к матрице

и обозначается через . Другими словами: если матрица А выражает координаты х, у, z (т. е. координаты относительно базиса ) через координаты (относительно базиса ), то обратная матрица определяется как матрица, выражающая координаты , через координаты х, у, z, причем безразлично, понимаем ли мы под координатами координаты точки или вектора.

2. Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера к реперу сводится к комбинации двух случаев: переноса начала (гл. III, § 2) и только что разобранного случая перехода от одного базиса к другому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами еще третий, «промежуточный», имеющий начало и базис координаты точки относительно этого промежуточного репера обозначим через . Тогда , где выражаются через по формулам (2) (в которых, естественно, надо (слева) соответственно заменить на ). Получаем окончательно: в пространстве:

на плоскости:

Это и есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем.

Матрица

коэффициентов в равенствах (43), соответственно (42), называется матрицей преобразования координат.

3. Уравнение гиперболы относительно ее асимптот. Пусть гипербола дана в канонической для нее системе координат уравнением

(рис. 101). Переходим к новому реперу , где

(т. е. принимаем за новые единичные векторы орты, направленные по асимптотам гиперболы)

и, следовательно,

т. е.

внося эти выражения через в уравнение (5), получаем после очевидных преобразований

Это уравнение называется естественным уравнением гиперболы относительно ее асимптот (ставших осями новой аффинной координатной системы).

Рис. 101.

В частности, для равносторонней гиперболы

имеем

(см. ).

Если в общем случае произвольной шперболы принять за новые оси ее асимптоты, не налагая никаких ограничений на длины единичных векторов, то уравнение гиперболы будет иметь вид

Число к может быть любым действительным числом, отличным от нуля.