§ 2. Перемножение матриц. Новое определение обратной матрицы

1. Произведение двух матриц. Предположим, что, наряду с исходным базисом , даны два базиса , причем известны матрицы перехода А от базиса к базису а следовательно, и матрицы А. В соответствующих преобразований координат. Другими словами, даны формулы

и

Требуется найти матрицу перехода С от базиса к базнсу Г или, что равносильно, матрицу С, выражающую координаты х, у, z через

Решение не представляет затруднений: надо просто подставить данные формулами (2) выражения для в (1) и сделать приведение подобных членов.

Получаем

т. е.

Вспомним, что мы в § 10 главы VII назвали (формальным) скалярным произведением двух наборов чисел (двух векторов арифметического векторного пространства) число . Мы видим теперь, что первая, вторая, третья скобка в первом из равенств (4), т. е. первый, второй, третий элемент первой строки матрицы С, есть скалярное произведение первой строки матрицы А соответственно на первый, второй, третий столбец матрицы В и что вообще элемент матрицы С (стоящий на пересечении строки и столбца этой матрицы) есть скалярное произведение строки матрицы А на столбец матрицы В. Матрица С, построенная но этому правилу, называется произведением матрицы А на матрицу В и записывается в виде

при этом легко видеть на простых примерах (даже матриц второго порядка), что умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно; поэтому важно, какая из двух перемножаемых матриц является первым («левым»), а какая вторым («правым») множителем.

Сопоставляя определение произведения двух матриц с доказанным в § 10 главы VII правилом перемножения детерминантов, видим, что детерминант произведения двух матриц есть произведение детерминантов этих матриц.

Следующее важное равенство доказывается непосредственной проверкой:

где звездочка, как всегда, означает переход к транспонированной матрице.

Так как матрица преобразования координат, соответствующая переходу от одного базиса к другому, транспонирована к соответствующей матрице перехода, то, обозначая через А матрицу перехода от базиса к базису , а через В матрицу перехода от базиса Г к базису , видим, что матрица перехода от базиса к базису есть

(5)

в чем читатель легко может убедиться и непосредственным вычислением.

2. Новое определение обратной матрицы. Квадратная матрица

главная диагональ которой состоит из единиц, а все остальные элементы суть нули, называется единичной матрицей.

Единичная матрица третьего порядка есть, очевидно, матрица тождественного перехода от базиса к этому же самому базису , или матрица тождественного преобразования координат

Пусть А — произвольная невырождающаяся матрица (третьего порядка). Легко вычислить непосредственно (обязательное упражнение!) , что

Однако в этом можно убедиться и следующим образом, без вычислений. Матрицу А мы можем рассматривать как матрицу перехода от одного базиса к другому . Делая сначала переход от базиса к базису (он дается матрицей А), а затем обратный переход от , (он дается матрицей ), мы получим тождественный переход от базиса к этому же самому базису. Поэтому

Делая сначала переход от базиса (матрица ) и затем обратный переход к (матрица А), мы видим, что

Отсюда следует, то

и, далее, что невырождающаяся матрица А и обратная к ней матрица всегда имеют детерминанты одного и того же знака.