§ 3. Взаимное расположение двух плоскостей

Если две плоскости параллельны (в широком смысле), то всякий вектор, компланарный одной из них, будет компланарен и другой плоскости. Две параллельные в широком смысле плоскости имеют одно и то же множество компланарных им векторов. Обратно, если у двух плоскостей и одно и то же многообразие компланарных им векторов V, то они параллельны в широком смысле слова, если кроме того эти плоскости различны, то они не имеют ни одной общей точки (т. е. параллельны в узком смысле слова): если бы плоскости имели общую точку , то, прилагая к этой точке все векторы многообразия V, мы бы получили все точки каждой из плоскостей и эти плоскости были бы тождественны.

Итак, две плоскости, определяемые соответственно уравнениями

и

параллельны в широком смысле слова тогда и только тогда, когда они определяют одно и то же многообразие компланарных им векторов, т. е. когда уравнения

и

имеют одно и то же множество решений. А это, как мы видели, бывает тогда и только тогда, когда

Если, более того,

то уравнения (1) и (Г) равносильны, определяемые ими плоскости совпадают. Обратно, если плоскости (1) и (Г) совпадают, то совпадают многообразия компланарных им векторов, т. е. выполнено (3), и, следовательно, при некотором

Докажем, что тогда и , т. е. имеет место пропорция (4). В самом деле, если — какая-нибудь точка совпадающих между собой плоскостей (1) и (Г), то имеем тождества

в которых , а следовательно, и .

Утверждение доказано.

Итак, пропорция (4) является необходимым и достаточным условием для совпадения плоскостей (1) и (1').

Наконец, параллельность плоскостей (1) и (1') в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смысле, но нет совпадения плоскостей. Другими словами, верна пропорция (3), но неверна пропорция (4), а это значит, что

Итогом всему доказательству является

Теорема 6 (вторая основная теорема о плоскости). Два уравнения первой степени (1) и (1)

тогда и только тогда определяют одну и ту же плоскость, когда выполнено условие

Уравнения (1) и (1) тогда и только тогда определяют две плоскости, параллельные в широком смысле слова, когда выполнено условие (3).

Наконец, эти уравнения тогда и только тогда определяют две плоскости, параллельные в собственном смысле, когда имеет место (5).