§ 4. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительного данного базиса

Несколько векторов называются коллинеарными (соответственно компланарными) между собою, если все они, будучи приложенными к одной и той же точке, оказываются лежащими на одной прямой d (рис. 25) (соответственно в одной плоскости (рис. ). В этом случае говорят также, что рассматриваемые векторы коллинеарны прямой d (компланарны плоскости ).

Следующие утверждения являются непосредственными следствиями этого определения:

1. Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору.

2. Если несколько векторов коллинеарны меоюду собою, то они и подавно между собою компланарны.

3. Каждый вектор коллинеарен самому себе.

4. Всякие два вектора между собою компланарны.

Векторы коллинеарны (компланарны) тогда и только тогда, когда несущие их прямые параллельны (в широком смысле) одной и той же прямой (одной и той же плоскости).

Рис. 25.

Пусть — два коллинеарных вектора. Прилагая их к одной какой-нибудь точке О, получаем векторы , лежащие на одной прямой. Пусть по крайней мере один из данных векторов, например , отличен от нуля. Тогда, как мы знаем из первой главы, определено вещественное число , называемое отношением вектора к вектору их; модуль этого числа равен отношению отрезка к отрезку

а знак берется положительный, если векторы направлены в одну и ту же сторону, и отрицательный, если они направлены в противоположные стороны; если , то .

Если то по самому определению умножения вектора на число имеем .

Обратно, из того же определения следует, что всякий вектор вида , где К — какое-нибудь вещественное число, коллинеарен вектору . Мы доказали следующую теорему:

Рис. 26.

5. Пусть — какой-нибудь ненулевой вектор. Тогда все векторы вида , где — любое вещественное число, и только векторы этого вида коллинеарны вектору .

Подчеркнем особо: отношение между двумя векторами определено тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны и когда по крайней мере один из них отличен от нуля. Если отношение равно числу , то это значит, что .

Прежде чем идти дальше, докажем следующие две теоремы: 6. Пусть на плоскости даны две прямые , пересекающиеся в некоторой точке О. Тогда любой вектор есть сумма своих проекций их и на эти прямые (проекции берутся на каждую из двух прямых вдоль другой прямой).

Доказательство. Утверждение очевидно, если вектор и лежит на одной из наших прямых, например на тогда .

Пусть вектор и не лежит ни на одной из двух данных прямых. Пусть суть проекции вектора на каждую из наших прямых вдоль другой прямой (рис. 27); тогда ОА есть диагональ параллелограмма, построенного на и .

Замечание 1. Если вектор является суммой двух векторов , лежащих на прямых , то слагаемые непременно являются проекциями вектора и на прямые и, следовательно, определены однозначно.

Рис. 27.

Рис. 28.

В самом деле, если , то, по определению сложения векторов, ОА есть диагональ параллелограмма, построенного на , по тогда суть проекции вектора ОА на каждую из прямых (вдоль второй прямой), что и требовалось. Совершенно аналогично доказывается предложение 7. Пусть через точку О пространства проходят три прямые, не лежащие в одной плоскости. Тогда любой вектор есть сумма сеоих проекций на эти прямые, причем проекции берутся на каждую прямую вдоль плоскости, несущей две другие прямые.

Можно ограничиться случаем, когда вектор не лежит ни в одной из плоскостей, несущих две какие-нибудь из наших трех прямых. Тогда проекции вектора и — ОА на каждую прямую (вдоль плоскости, несущей две другие прямые) образуют три ребра параллелепипеда с диагональю ОА (рис. 28) и

Замечание 2. Пусть вектор каким-нибудь образом представлен как сумма трех векторов , лежащих соответственно на прямых .

Тогда векторы непременно суть проекции вектора и на прямые .

В самом деле, из равенства следует, что ОА есть диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , но тогда эти векторы суть проекции вектора О А на прямые .

Из доказанного будет сейчас выведена следующая

8. Основная теорема. Пусть в плоскости даны два неколлинеарных вектора . Тогда каждый вектор и есть линейная комбинация

векторов и коэффициенты определены однозначно, как алгебраические значения проекций вектора и на оси, несущие соответственно единичные векторы (проекция на каждую ось берется вдоль другой оси).

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора . Тогда каждый вектор и есть линейная комбинация

векторов , в которой коэффициенты определены однозначно, как алгебраические значения проекций вектора и на оси, определенные единичными векторами (проекция на каждую ось берется вдоль плоскости, определенной двумя другими осями).

Доказательство совершенно одинаково в обоих случаях — плоскости и пространства.

Ограничиваемся случаем плоскости. Приложим векторы к какой-нибудь точке О (рис. 29); получим ,

Тогда вектор есть сумма своих проекций на прямые, несущие векторы , причем векторы их и однозначно определены условием и требованием коллинеарности векторов векторам и .

Из этого последнего требования вытекает, что , где определены однозначно, как алгебраические значения векторов на соответствующих осях (несущих соответственно векторы ).

Рис. 29.

Итогом только что сказанного является следующее

Основное определение. Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости и любая тройка некомпланарных векторов пространстве, данных в определенном порядка, называется базисом множества (или многообразия) всех векторов, лежащих соответственно в плоскости или в пространстве; сами векторы называются базисными или единичными векторами. Однозначно определенные коэффициенты (соответственно ) в представлениях

называются координатами вектора и относительно данного базиса ( — первая, - вторая, - третья координата).

Каждая координата вектора и есть алгебраическое значение проекции вектора и на ось, несущую соответствующий базисный вектор.

Равенства (12) и (13) записываются часто в виде

и

Сделаем два важных замечания.

Замечание 3. Мы знаем, что проекции равных векторов равны, поэтому равные векторы имеют (относительно данного базиса) соответственно равные координаты. Обратно, если даны координаты (соответственно ) вектора, то дан и вектор (соответственно ) как свободный вектор. Другими словами, представления (12), (13) касаются свободных векторов, они не зависят от точек приложения векторов.

Замечание 4. Мы знаем, что при умножении вектора на какое-либо число X на это же X умножается и проекция вектора (на любую ось); мы знаем также, что проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов. Отсюда и из определения координат вектора следует:

При умножении вектора на данное число А на это же число X умножаются и координаты вектора. Каждая координата суммы двух векторов есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов.