Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядкаПусть вектор
т. е. пусть
имеет вектор
Возможны следующие случаи: 1° 2° 3° Доказана следующая Теорема 2. Прямая (2), имеющая асимптотическое направление по отношению к поверхности (1) второго порядка, может находиться в одном из следующих положений: 1° Она имеет с поверхностью (1) единственную и тогда непременно вещественную общую точку. 2° Она является асимптотой поверхности (т. е. не имеет с ней ни одной общей точки, ни вещественной, ни мнимой). 3° Она является прямолинейной образующей поверхности (т. е. всеми своими точками лежит на поверхности Посмотрим теперь, каковы асимптотические направления поверхностей различных видов, определенных в предыдущей главе. В случае эллипсоида, заданного своим каноническим уравнением Асимптотические направления однополостного и двуполостного гиперболоидов, заданных их каноническими уравнениями
суть направления образующих их общего действительного асимптотического конуса
Эллиптический параболоид
имеет асимптотические направления
Все эти направления мнимые, за исключением одного, а именио направления
определяются условием
это всевозможные направления, коллинеарные какой-либо одной (или обеим) из плоскостей
Все эти направления действительны. Все прямые, являющиеся образующими асимптотического конуса (5) обоих гиперболоидов (4), суть асимптоты каждого из этих гиперболоидов; любая другая прямая асимптотического направления пересекает двуполостный гиперболоид
в единственной точке; в случае однополостного гиперболоида имеются, кроме того, и прямолинейные образующие (известные нам из § 6 предыдущей главы). Все действительные прямые асимптотического направления по отношению к эллиптическому параболоиду (6) параллельны между собою (они параллельны оси z) и пересекают параболоид в единственной точке; читатель легко проверит это. У эллиптического параболоида нет ни действительных асимптот, ни (как мы уже знаем из предыдущей главы) действительных прямолинейных образующих. Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к гиперболическому параболоиду (7), параллельна одной из двух плоскостей (8); она или является прямолинейной образующей (см. гл. Асимптотические направления конуса суть направления его образующих. Асимптот конус не имеет. Всякая прямая, имеющая по отношению к конусу асимптотическое направление и не являющаяся его образующей, пересекает его в одной точке. Переходим к асимптотическим направлениям цилиндрических поверхностей. 1° Асимптотические направления эллиптического цилинара
суть направления
среди них действительным является лишь направление 2° Асимптотические направления гиперболического цилиндра
суть все направления, параллельные одной (или обеим) из двух плоскостей
3° Асимптотические направления параболического цилиндра
суть все направления, параллельные плоскости Асимптотические направления поверхности, распавшейся на пару плоскостей, суть направления, параллельные одной из этих плоскостей (или им обеим). Если все векторы, имеющие относительно данной поверхности (1) второго порядка асимптотические направления, прилагать к какой-нибудь точке Если поверхность центральная, то конус асимптотических направлений с вершиной в центре данной поверхности называется просто асимптотическим конусом поверхности. Иногда это наименование употребляется и как сокращение наименования «конус асимптотических направлений», что, впрочем, достойно порицания. Асимптотический конус гиперболоидов известен нам уже из главы XVIII; Асимптотическим конусом эллипсоида является мнимый конус,заданный (в канонической для данного эллипсоида системе координат) уравнением
распадается в пару пересекающихся плоскостей, мнимых и сопряженных:
для эллиптического параболоида, и действительных:
для гиперболического параболоида. Асимптотический конус конической поверхности совпадает с самой этой поверхностью. Наконец, конус асимптотических направлений
Рис. 225. цилиндрической поверхности есть пара плоскостей — мнимых и сопряженных (пересекающихся по действительной прямой), если цилиндр эллиптический; пересекающихся действительных, если цилиндр гиперболический (рис. 225а); совпадающих (и действительных), если цилиидр параболический (рис. 225б). Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отношению к данной поверхности асимптотическое направление, являются прямолинейные образующие этой поверхности. Прямая (2), проходящая через течку Первое из этих условий, т. е.
означает, что прямая (2) имеет асимптотическое направление; второе условие
означает, что прямая (2) лежит в касательной плоскости к поверхности (1) в ее точке Теорема 3. Прямолинейные образующие поверхности (1), проходящие через точку Замечание 1. Так как мы рассматриваем прямолинейные образующие, проходящие через данную точку Рассуждеиие это делается несостоятельным, если одно из двух уравнений (9) и (10) является следствием другого, в частности, если уравнение (10) обращается в тождество, что имеет место, если поверхность (1) есть конус, а точка
Если же поверхность распадается на пару пересекающихся плоскостей, то уравнение (9) эквивалентно двум линейным однородным уравнениям, определяющим двумерные векторные многообразия, соответствующие тем плоскостям, на которые распадается поверхность (1). Если вектор Если поверхность нераспадающаяся и (в случае, когда она конус) точка Теорема 4. Касательная плоскость к певырождающейся поверхности второго порядка в данной ее точке Доказательство. Возьмем систему координат, началом которой является данная точка
(свободный член равен нулю). Уравнение касательной плоскости в точке
Но эта плоскость есть плоскость
Так как
Решая его совместно с уравнением
Это — уравнение распадающейся кривой второго порядка. Если бы эта кривая была нарой совпадающих прямых, то было бы
Но тогда
и поверхность (1), вопреки предположению, была бы вырождающейся. Теорема 4 доказана. Из нее вытекает такое Следствие. Касательная плоскость к певырождающейся поверхности второго порядка в произвольной ее точке Замечание 2. Аналитическим критерием для того, будут ли прямолинейные образующие, проходящие через иеособую точку вещественной нераснадающейся поверхности, действительными различными, мнимыми сопряженными или, наконец, действительными совпадающими, может служить знак детерминанта В самом деле, из инвариантности знака детерминанта
Линия пересечения поверхности ( Точно так же покажем, что если Предположим, наконец, что Существенно отметить, что вопрос о том, является ли пересечение нерасиадающейся поверхности второго порядка с касательной плоскостью к ней в данной неособой точке парой действительных (различных или совпадающих) или мнимых прямых, решается для всех неособых точек поверхности одинаково; мы увидим, что решение этого вопроса вполне определяется аффиннымх) классом данной поверхности. Геометрическая характеристика асимптотических и неаси митотических направлений для данной поверхности второго порядка. Совершенно так же, как в случае кривых, мы доказываем следующее предложение, аналогичное теореме 6 главы XVII (§ 5). Теорема 5. Пусть
— поверхность второго порядка, не все точки которой лежат в одной плоскости. Если Надо доказать лишь утверждение, касающееся неасимитотического направления
направления
Среди коэффициентов
Умножая эти равенства соответственно на
т. е. направление Итак, равенство
представляет собою уравнение первой степени относительно
|
1 |
Оглавление
|