§ 3. Проекции

Пусть на плоскости дана прямая d и прямая , не паралельная прямой .

Через произвольную точку А плоскости проводим прямую параллельную прямой d (рис. 15); она пересекает прямую d в точке , называемой проекцией точки А на прямую d вдоль (или параллельно) прямой .

Рис. 15.

Если в пространстве даны прямая d и плоскость , не параллельные между собою, то для каждой точки А определены:

1) проекция на прямую d вдоль плоскости — это точка пересечения прямой d с плоскостью , проведенной через точку А параллельно плоскости (рис. 16);

2) проекция , на плоскость вдоль прямой d — это точка пересечения плоскости с прямой , проведенной через точку А параллельно прямой d (рис. 17).

Рис. 16.

Рис. 17.

Замечание. Если или , то получаем ортогональные (прямоугольные) проекции, известные читателю из курса средней школы.

Если дан вектор АВ, то, беря проекции его начала и конца, получим вектор , называемый проекцией вектора АВ на прямую d (вдоль прямой d (рис. 18), соответственно вдоль плоскости (рис. 19).

Рис. 18.

Рис. 19.

Аналогично вектор есть проекция вектора АВ на плоскость (вдоль прямой d) (рис. 20).

Проекция нектора АВ на прямую d (на плоскость ) обозначается через (), а иногда (когда невозможны недоразумения) и просто через .

Перечислим простейшие свойства проекций.

1. Проекция вектора АВ равна нулю (т. е. является нулевым вектором) тогда и только тогда, когда данный вектор параллелен той прямой или плоскости, вдоль которой происходит проектирование (рис. 21).

В самом деле, в этом и только в этом случае начало и конец вектора проектируются в одну точку.

2. Проекции любого вектора на две параллельные прямые (плоскости) равны между .

Основным фактом является:

3. Проекции, двух равных векторов равны.

Доказательство. Ограничиваемся случаем проекции напрямую d вдоль прямой d (на плоскости (рис. 23, а) или вдоль плоскости (в пространстве (рис. 23, б).

Рис. 20.

Рис. 21.

Рис. 22.

Пусть надо доказать, что . Сдвиг всей плоскости (пространства) на вектор переводит прямую d в некоторую прямую d, прямые (плоскости ) — соответственно в , точки пересеченна прямой , соответственно с — в точки пересечения прямой d соответственно с , так что

Рис. 23.

т. е.

Но d параллельна d, поэтому , так что

что и требовалось доказать.

Пусть даны векторы и их замыкающий вектор . Тогда при проектировании на прямую d (вдоль какой-нибудь прямой d или плоскости ) или на плоскость (вдоль прямой d) (рис. 24)

т. е.

(4)

Вообще проекция замыкающего вектора данных векторов есть замыкающий сектор проекций данных векторов, или:

Рис. 24.

4. Проекция суммы двух (или более) векторов есть сумма проекции этих векторов.

Без труда доказывается формула

(надо рассмотреть отдельно случаи ).

Из (4) и (5) вытекает:

Полученные результаты кратко объединяются в следующем предложении:

Линейные операции над векторами (т. е. сложение векторов и их умножение на число) переместительны с операцией проектирования.