§ 5. Определение группы

Возвратимся к рассмотрению множества О всех преобразований данного множества X. Мы видели, что для любых двух элементов множества О, т. е. для любых двух преобразований определен элемент т. е. преобразование, называемое произведением (или композицией) двух элементов заданных в данном порядке (сначала потом ). При этом выполнено условие ассоциативности того, среди элементов g множества О имеется элемент (тождественное преобразование), удовлетворяющий условию

для любого элемента g. И, наконец, для каждого элемента g множества G имеется обратный элемент удовлетворяющий условию

Предположим теперь, что дано некоторое (произвольное) конечное или бесконечное множество О для любых двух элементов (данных в этом порядке) и определен некоторый третий элемент того же множества, называемый произведением или композицией элемента и элемента g., и обозначаемый через Предположим, наконец, что эта операция умножения, или композиции (т. е. операция перехода от двух данных элементов к элементу — удовлетворяет следующим условиям:

I. Условие сочетательности, или ассоциативности. Для любых трех элементов множества справедливо соотношение

II. Условие сущесгвования нейтрального элемента. Среди элементов множества О имеется некоторый определенный элемент, называемый нейтральным элементом и обозначаемый через , такой, что

при любом выборе элемента

III. Условие существования обратного элемента к каждому данному элементу. К каждому данному элементу g множества О можно подобрать такой элемент того же множества О, что

Множество О с определенной в нем операцией умножения (композиции), удовлетворяющей только что перечисленным трем условиям, называется группой, сами эти условия называются аксиомами понятия группы или, короче, групповыми аксиомами.

Пусть в группе О, кроме трех групповых аксиом, оказывается выполненным еще и следующее условие.

IV. Условие переместительности, или коммутативности:

В этом случае группа О называется коммутативной или абелевой.

Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов; в противном случае она называется бесконечной.

Число элементов конечной группы называется ее порядком.

Познакомившись с определением группы, мы видим, что множество всех преобразований какого-либо множества X есть группа. В частности, группой является множество всех перестановок в каком-либо конечном множестве, например множество всех перестановок чисел .

Замечание 1. Мы назвали операцию композиции в группе умножением. С таким же успехом ее можно было бы назвать сложением.

Это общепринято, в частности, в применении к коммутативным группам.

Иногда, желая подчеркнуть, что композиция в данной группе G названа сложением, саму группу G называют аддитивной. Аналогично, желая подчеркнуть действие умножения как композицию в группе, называют группу мультипликативной. Простейшими примерами коммутативных групп являются:

1. Аддитивная группа J всех целых чисел с обычным сложением в качестве композиции и числом нуль в качестве нейтрального элемента. «Обратный» элемент к целому числу есть при этом число — .

2. Аддитивная группа всех вещественных чисел, также с обычным сложением в качестве композиции. Нейтральный элемент есть снова число нуль, — есть «обратный» элемент к числу

3. Если в аддитивной группе всех вещественных чивел сохранить (не меняя композицию) лишь рациональные числа, получим аддитивную группу всех рациональных чисел.

4. Мультипликативная группа всех положительных вещественных чисел. Композиция в этой группе есть арифметичеокое умножение; нейтральным элементом является число 1; обратным элементом к числу является число .

5. Группа всех свободных векторов (на плоскости, соответственно в пространстве). Композиция определяется как сложение векторов (см. гл. II). Нейтральным элементом является нулевой вектор; «обратным» элементом к вектору и является вектор — .

6. Группа всех вращений плоскости (самой по себе) вокруг данной точки О (на всевозможные углы ). Каждое такое вращение рассматривается как преобразование плоскости (т. е. как взаимно однозначное отображение плоскости на себя). Поэтому два вращения на углы разность которых есть целое, кратное

должны рассматриваться как совпадающие (тождественные) между собою вращения; значит, достаточно говорить о вращениях (поворотах) плоскости на ввевозможные углы

7. Группа состоящая из трех вращений плоскости (вокруг точки О), а из вращений на углы (тождественное вращение), . Это вращения плоскости, отображающие на себя правильный треугольник с центром в точке О.

Аналогично можно говорить о группе состоящей из вращении плоскости на углы . Это вращения плоскости вокруг данной точки О, отображающие на себя правильный многоугольник с центром в точке О.

Наконец, определим группу как группу, состоящую из двух вращений плоскости, на угол и на угол .

Пусть m — данное целое число Назовем любые два целых числа пил эквивалентными между собою относительно числа m (или эквивалентными по модулю ), если их разность без остатка делится на число т. Это определение эквивалентности удовлетворяет аксиомам рефлексивности, симметрии и транзитивности и, следонательно, порождает разбиение всего множества целых чисел на классы чисел, эквивалентных между собою по модулю . Один из этих классов состоит из чисел, делящихся без остатка на , остальные состоят из чисел, дающих при делении на один и тот же положительный остаток

Так, например, при имеем классы причем класс состоит из чисел вида т. е. из чисел

класс — из чисел вида т. е. из чисел

класс — из чисел вида т. е. из чисел

При любом имеем классы

состоящие соответственно из чисел вида

где пробегает все целочисленные значения.

Эти классы кратко называются «классами по модулю Для них вводится следующее правило сложения: для сложения двух классов и надо выбрать из каждого класса по одному какому-нибудь элементу: из из класс содержащий число будет одним и тем же, как бы ни выбрали число в классе и число в классе Поэтому класс содержащий элемент зависит только от классов а не от того, какие элементы мы выбрали в этих классах; класс называется суммой классов и

Это сложение, очевидно, коммутативно и ассоциативно. Легко видеть, что при этом всегда

При имеем:

При имеем:

и далее по коммутативности сложения.

Для каждого класса имеется единственный класс удовлетворяюший условию

Если какое-нибудь число из класса то класс, содержащий число (этот же класс содержит и число ), является искомым. Например, при имеем

при

и т. д.

Классы чисел по модулю да с приведенным сложением в качестве композиции образуют коммутативную группу, которую обозначаем через и называем группой классов или группой вычетов по модулю .

Понятие изоморфизма групп. Определение. Взаимно однозначное отображение группы X на группу У называется изоморфным отображением или изоморфизмом группы X на группу Y, если при этом сохраняется композиция элементов, т. е. из

всегда следует, что

Если есть изоморфное отображение группы X на группу Y, то обратное отображение группы Y на группу X также есть изоморфизм.

В самом деле, пусть

и пусть

Пусть . Надо доказать, что . Доказываем от противного: пусть . Так как - изоморфное, в частности взаимно однозначное, отображение, то из нашего предположения следует, что Между тем вопреки предположению.

Основное определение. Две группы называются изоморфными, если существует изоморфное отображение одной из них на другую.

Примеры изоморфных групп. 1) Пусть есть группа всех свободных векторов на плоскости. Эта группа изоморфна группе элементами которой являются упорядоченные пары действительных чисел с покоординатным сложением:

Мы получаем изоморфное отображение группы на группу ставя в соответствие каждому свободному вектору и пару его координат х, у (в какой-либо определенной системе координат на плоскости).

2) Поставим в соответствие каждому положительному числу его (натуральный) логарифм . Этим определено изоморфное отображение мультипликативной группы всех положительных чисел на аддитивную группу всех действительных чисел. Другой изоморфизм между этими же группами получим, асли возьмем вместо натуральных логарифмов десятичные (или вообще логарифмы по любому основанию а).

3) Группа изоморфна группе (Доказательство предоставляемая читателю.)

Определение. Всякая группа, изоморфная группе (или, что то же, группе ), называется (конечной) циклической группой порядка т. Всякая группа, изоморфная аддитивной группе всех целых чисел, называется бесконечной циклической группой.

4) Назовем два вещественных числа эквивалентными по модулю 1, если их разность есть целое число. Это определение эквивалентности порождает разбиение множества всех вещественных чисел на классы . Суммой двух классов назовем класс содержащий сумму каких-либо двух чисел взятых соответственно в классах Легко видеть, что класс не зависит от выбора элементов в классах Это определение сложения превращает множество всех наших классов в группу Гц изоморфную группе 5% всех вращений плоскости вокруг данной ее точки (доказать!).

Указание. Надо прежде всего доказать, что группа изоморфна группе полученной как группа классов вещественных чисел, если считать экнииалентиыми всякие два числа, разность которых есть целочисленное, кратное .

Теперь легко видеть, что каждому элементу группы взаимно однозначно соответствует некоторый поворот плоскости (на любой угол где принадлежит классу все такие углы отличаются друг от друга на кратные т. е. определяют одно и то же вращение). Полученное взаимно однозначное соответствие между группами и есть изоморфизм.

Замечание. Группа а также являются примерами, иллюстрирующими (в частном случае коммутативных групп) важнейшее в теории групп понятие фактор-группы. Пусть дана какая-нибудь коммутативная группа G. Ее мы пишем аддитивно, т. е. композицию в ней называем сложением, и (для двух каких-нибудь элементов и g.: группы вместо пишем ) в соответствии с этим нейтральный элемент называем нулем и обозначаем его через 0, а элемент, обратный к данному элементу g, называем противоположным и обозначаем через . Вместо пишем просто Имеем (в коммутативной группе) всегда — . Пусть в коммутативной группе О дана какая-нибудь подгруппа N. Два элемента и группы G называем эквивалентными относиталыю подгруппы Н, если их разность есть элемент этой подгруппы. Читатель легко проверит, что это определение эквивалентности удовлетворяет трем аксиомам равенства и, следовательно, водет к распадению всей группы на классы К эквивалентных элементов по отношению к подгруппе Н. Одним из этих классов является, как легко видеть, сама подгруппа этот класс называем нулевым. Как бы мы ни выбирали элементы принадлежащие соответственно двум каким-нибудь классам элемент принадлежит всегда одному и тому же классу определенному, таким образом, самими классами а не выбором принадлежащих им элементов Класс называется суммой классов Таким образом, множество всех классов эквивалентнооти, на которые распадается коммутативная группа G относительно своей подгруппы , превращается в группу G, называемую фактор-группой коммутативной группы G по ее подгруппе и обозначаемую так: Нулевым элементом этой группы является нулевой класс, т. е. подгруппа . Фактор-группы определяются и для некоммутативных групп, однако уже не по любой подгруппе, а только по некоторым так называемым инвариантным подгруппам (или нормальным делителям), определение которых читатель может найти, например, в моей маленькой книжке «Введение в теорию

Ставя в соответствие каждому элементу группы О единственный содержащий ее класс относительно подгруппы , получим отображение группы G на фактор-группу .

Это отображение, уже не будучи взаимно однозначным, тем не менее сохраняет композицию в том же смысле, как мы говорили об этом при определении изоморфизма: если любые элементы группы О, то

Отображения какой-нибудь группы X на какую-нибудь группу Y, удовлетворяющие этому условию, называются гомоморфными отображениями или гомоморфизмами. Изоморфные отображения суть не что иное, как взаимно однозначные гомоморфные отображения одной группы на другую (коммутативность групп при этом не предполагается).