ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления

263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла).

Во многих вопросах науки и техники приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот - восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая известным уравнение движения , т. е. закон изменения пути с течением времени, мы путем дифференцирования нашли сначала скорость а затем и ускорение На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу: ускорение а задано в функции от времени требуется определить скорость си пройденный путь s в зависимости . Таким образом, здесь оказывается нужным по функции восстановить ту функцию для которой а является производной, а затем, зная функцию V, найти ту функцию для которой производной будет V.

Дадим следующее определение:

Функция в данном промежутке называется первообразной функцией для функции или интегралом от если во всем этом промежутке является производной для функции или, что то же, служит для дифференциалом

Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисления, как видим, эта задача является обратной основной задаче дифференциального исчисления.

Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкнутом или нет) промежутке X функция есть первообразная для функции то и функция где С - любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция, первообразная для в промежутке X, может быть представлена в этой форме.

Доказательство. То обстоятельство, что, наряду с является первообразной для вполне очевидно, ибо

Пусть теперь будет любая первообразная для функция, так что в промежутке X

Так как функции в рассматриваемом промежутке имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131, следствие]:

что и требовалось доказать.

Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции только одну первообразную функцию чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.

В силу этого выражение где С - произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную или дифференциал Это выражение называется неопределенным интегралом и обозначается символом

в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение называется по динтегральным выражением, а функция - подинтегральной функцией.

Пример. Пусть тогда, как нетрудно видеть, неопределенный интеграл этой функции будет

Это легко проверить обратным действием - дифференцированием. Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла» пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не производную (в нашем примере: а не Такой способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ, и его сохранение вполне целесообразно.

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие свойства:

т. e. знаки когда первый помещен перед вторым, взаимно сокращаются.

2. Так как есть первообразная функция для то имеем

что может быть переписано так:

Отсюда видим, что знаки стоящие перед сокращаются и тогда, когда стоит после но только к нужно прибавить произвольную постоянную.

Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили вначале, мы можем теперь написать, что

и

Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноускоренным движением, например под действием силы тяжести; тогда (если направление по вертикали вниз считать положительным) и - как нетрудно сообразить -

Мы получили выражение для скорости V, в которое, кроме времени входит еще и произвольная постоянная С. При различных значениях С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть нам известно, что в момент скорость подставим эти значения в полученное выражение для скорости

откуда

и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид

Найдем, далее, выражение для пути . Имеем

(дифференцированием легко проверить, что первообразная функция может быть взята в такой форме). Неизвестную нам новую постоянную С можно определить, если, например, дано, что путь в момент найдя, что перепишем решение в окончательном виде

Значения условно называются начальными значениями величин и V.

Рис. 1.

Мы знаем, что производная функции дает угловой коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому задачу разыскания первообразной для заданной функции можно истолковать так: требуется найти кривую для которой имел бы место заданный закон изменения углового коэффициента касательной:

Если есть одна из таких кривых, то все остальные могут быть получены из нее простым сдвигом (на произвольный отрезок С) параллельно оси у (рис. 1). Для того, чтобы индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, например, задать точку через которую кривая должна пройти; начальное условие даст