433. Почленный переход к пределу.

Приведем еще одну теорему, которая является обобщением теоремы 1. В ней есть произвольное бесконечное множество, имеющее точку сгущения а (конечную или нет) [52]; эта точка сама может и не принадлежать множеству.

Теорема 4. Пусть каждая из функций определена в области X и имеет, при стремлении х к а, конечный предел:

Если ряд (3) в области X сходится равномерно, то 1) сходится ряд, составленный из этих пределов:

и 2) сумма ряда также имеет при предел, именно:

Доказательство. Согласно условию равномерной сходимости п° 429, для произвольно взятого существует такой номер что при неравенство (8) выполняется для всех х из X. Переходя здесь к пределу при х — а с учетом (16), найдем, что

так что для ряда (С) выполняется условие сходимости [376].

Если означают, как обычно, его сумму, частичную сумму и остаток, то

Вычитая это равенство почленно из (11), легко получить:

Ввиду равномерной сходимости ряда (3) и сходимости ряда (С), по любому можно фиксировать столь большим, чтобы для всех х из X было:

Так как, очевидно,

то - если ограничиться случаем конечного а - найдется такое что при будет:

Тогда, при указанных значениях х, в силу (18), (19) и (20), будет выполняться неравенство

что и приводит к (17).

Равенство (17) можно написать в форме [см. (16)]:

таким образом, при наличии равномерной сходимости, предел суммы ряда равен сумме ряда, составленного из пределов его членов, или, иными словами, в ряде допустим предельный переход почленно.