420. Метод средних арифметических.

Идея метода в простейшем его осуществлении принадлежит Фробениусу (G. Frobenius), но связывают его обычно с именем Чезаро (Е. Cesaro), который дал методу дальнейшее развитие. Вот в чем самый метод состоит:

По частичным суммам данного числового ряда (А) строятся их последовательные средние арифметические

если варианта при имеет предел А, то это число и называют «обобщенной (в смысле Чезаро) суммой» данного ряда.

Примеры. 1) Возвращаясь к ряду

имеем здесь

так что Мы пришли к той же сумме, что и по методу Пуассона -

Абеля [418, 1)].

2) Для ряда

частичные суммы будут (если только в и 0)

Теперь нетрудно подсчитать средние арифметические:

Итак, окончательно

Очевидно, для значений 00 «обобщенной суммой» и здесь служит 0 [ср. 418, 2)].

3) Наконец, пусть снова предложен ряд

Имеем при 60

и затем

Отсюда ясно, что

Во всех случаях по методу Чезаро получилась та же «обобщенная сумма», что и выше, по методу Пуассона - Абеля. Ниже [421] будет выяснено, что это - не случайность.

И здесь также непосредственно ясна линейность метода. Известная же теорема Коши [33, 13)] в случае существования предела

удостоверяет наличие того же предела и для средних арифметических . Таким образом, метод Чезаро является регулярным.