327. Дополнительный член формулы Симпсона.

Обратимся, наконец, к формуле (8). Можно было бы, аналогично тому, как это было сделано только что, снова воспользоваться интерполяционной формулой Лагранжа с дополнительным членом [129 (7)] и положить [см. (7)]

Но мы сталкиваемся здесь снова с таким положением вещей, какое имели в п° 325 (см. замечание). Именно, проинтегрировав равенство (15), мы не могли бы упростить интегральное выражение для дополнительного члена с помощью теоремы о среднем, так как выражение в подинтегральной функции уже меняет знак в промежутке Поэтому мы поступим иначе. Выражение

каково бы ни было число К, в точках принимает те же значения, что и функция Легко подобрать теперь число К так, чтобы и производная этого выражения при совпадала с производной

Таким образом, при этом значении К, мы имеем в лице написанного выражения не что иное, как интерполяционный многочлен Эрмита [130], отвечающий простым узлам и двукратному узлу Воспользовавшись формулой Эрмита с дополнительным членом [130 (11)] - в предположении существования для функции производных до четвертого порядка включительно - получим:

Теперь проинтегрируем это равенство от а до мы найдем, что

так как

Если предположить производную непрерывной, то, как и в предыдущих случаях, дополнительный член формулы (8)

пользуясь тем, что второй множитель в подинтегральном выражении не меняет знака, можно представить в такой форме:

Если промежуток разделен на равных частей, то - для формулы Симпеона (10) - получим дополнительный член в виде

При возрастании это выражение убывает примерно как таким образом, формула Симпсона действительно выгоднее двух предшествующих формул.

Обратимся снова к примеру интеграла Для того чтобы избежать вычисления четвертой производной, фигурирующей в формуле (16), мы заметим, что функция сама является производной от так что мы можем воспользоваться готовой формулой из 116, 8). В согласии с ней

это выражение, по абсолютной величине, не превосходит 24, так что по формуле (16) . Истинная погрешность, как мы видели, значительно меньше этой границы.

Замечание. На этом примере бросается в глаза, что граница погрешности, найденная по нашей формуле, оказывается довольно грубой. К сожалению - и в этом практический недостаток выведенных формул, - подобное обстоятельство встречается нередко.

Тем не менее именно с помощью этих формул, позволяющих все же оценивать погрешность наперед, можно осуществлять приближенное вычисление определенных интегралов. Обратимся к примерам.