530. Эйлеров интеграл второго рода.

Это название было присвоено Лежандром замечательному интегралу:

который сходится при любом [483, 5 (в)] и определяет функцию Г («Гамма»). Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений. Обстоятельное изучение свойств функции Г, исходя из ее интегрального определения (6), послужит одновременно и прекрасным примером применения изложенной выше теории интегралов, зависящих от параметра.

В главах XI и XII 402, 10); 408; 441, 11) мы встречали уже функцию Г, но определяли ее иначе; покажем же, прежде всего, тождество обоих определений (конечно, для

Полагая в (6) , найдем:

Как известно [77, 5) (б)];

причем выражение при возрастании стремится к своему пределу возрастая. В таком случае, на основании 518, оправдано равенство

или - если прибегнуть к подстановке

Но, согласно (3),

Таким образом, окончательно, приходим к знаменитой формуле Эйлера-Гаусса:

которая выше послужила нам отправной точкой [402 (14)]. В дальнейшем свойства функции Г, как указывалось, мы будем извлекать из ее интегрального представления (6).