390. Примеры.

Во всех примерах, кроме последнего, произведения рядов берутся в форме Коши.

1) Помножив ряд

на самого себя, таким путем получим:

2) Умножение рядов:

и

(где ) даст такой результат:

Ниже мы увидим [405], что сумма ряда (14) есть так что последнее разложение представляет функцию

3) Произвести возведение в квадрат:

(z - любое).

Указание. Воспользоваться элементарно доказываемой формулой:

Ответ.

4) Тождество [см. 385, 6)]

или

легко доказывается путем почленного умножения.

При этом, если в промежутке сходится один из двух рядов, отсюда уже следует сходимость в том же промежутке и другого ряда.

5) Доказать тождество

6) Как мы знаем уже ряд

абсолютно сходится при всех значениях х, обозначим его сумму через

Заменив здесь на у, получим аналогичный ряд с суммой Произведение обоих рядов в форме Коши имеет общий член:

Таким образом, для неизвестной нам пока функции получается соотношение

- при любых вещественных х и у. Впоследствии это даст нам возможность установить, что есть показательная функция [439, 3); ср. 75, 1°].

7) С помощью признака Даламбера легко показать, что ряды

абсолютно сходятся при всех значениях х. Путем умножения рядов можно доказать соотношения

Так как на деле есть не что иное, как то мы узнаем здесь известные теоремы сложения для этих функций.

8) Рассмотрим, наконец, положительный ряд

который сходится для [365, 2)] и представляет функцию Римана. Вычислим, с помощью умножения рядов, ее квадрат.

Всевозможные произведения

на этот раз мы разместим так, чтобы члены с одним и тем же числом в знаменателе стояли рядом, а затем - объединим их. Каждому к будет отвечать столько (равных между собой) членов, сколько делителей имеет число к, т. е. . Итак, окончательно,