§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

479. Определение интегралов от неограниченных функций.

Рассмотрим теперь функцию заданную в конечном промежутке но неограниченную в этом промежутке. Предположим более определенно, что в любом промежутке функция ограничена и интегрируема, но оказывается неограниченной в каждом промежутке слева от точки Точка носит в этом случае название особой точки.

Предел интеграла при (конечный или бесконечный) называется (несобственным) интегралом функции от а до и обозначается как обычно:

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а функцию называют интегрируемой в промежутке . Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.

Пример. 1) Функция ограничена и интегрируема в любом промежутке

В точке функция обращается в бесконечность. Напомним, что под этим разумеется лишь то, что при функция стремится к бесконечности.

Очевидно, в любом промежутке функция неограничена, т. е. точка является особой. На практике обыкновенно приходится иметь дело именно с такого рода особыми точками.

Так как вычисленный интеграл при 0 стремится к пределу то существует несобственный интеграл

Пусть теперь функция ограничена и интегрируема в любом промежутке но оказывается неограниченной в каждом промежутке справа от точки а (особая точка). Тогда (несобственный) интеграл функции от а до определяется равенством

В общем случае, в промежутке может быть конечное число особых точек вблизи которых функция неограничена, между тем как в каждой части этого промежутка, не содержащей особых точек, функция ограничена и интегрируема.

Пусть (для простоты письма) таких точек три, причем две из них совпадают с концами промежутка, а третья, с, лежит между ними. Тогда определение интеграла от а до дается равенством

Взяв внутри каждого из промежутков соответственно по точке будем иметь

Легко видеть, что существование предела (3) равносильно существованию порознь пределов для всех четырех этих интегралов, так что определение (3) можно заменить таким:

в предположении, что все несобственные интегралы справа существуют. Это определение не зависит от выбора точек же.

По отношению к несобственным интегралам (2) и (3) сохраняется та же терминология, что и выше.

Примеры.

4) Исследуем, при каких значениях показателя сходится несобственный интеграл

При интеграл

при имеет пределом или конечное в зависимости от того, будет ли или . Если то

Итак, интеграл (4) при сходится и имеет значение а при расходится [ср. 470, 2)].

6) Аналогичный результат может быть установлен относительно интеграла

который несущественно разнится от предыдущего.

Замечание. Полезно заметить следующее: если функция в промежутке интегрируема в собственном смысле (так что интеграл уже определен), то предельное равенство или (3)] для нее все же имеет место. Оно непосредственно вытекает из непрерывности интеграла по переменному верхнему (нижнему) пределу Таким образом, для несобственного интеграла мы приняли за определение то равенство, которое для собственного выполняется само собою.

Наконец, рассмотрим функцию заданную в бесконечном промежутке, например в и имеющую в нем конечное число особых точек, вблизи которых она перестает быть ограниченной. Предположим, что в каждом конечном промежутке интеграл существует, как собственный или как несобственный, согласно данному выше определению. Тогда, переходя еще раз к пределу при — можно равенством (1) [470] определить несобственный интеграл в промежутке

В случае бесконечного промежутка точка играет ту же роль, что и особые точки, требуя подобно им дополнительного предельного перехода. На этом основании и точку также называют особой, независимо от того, будет ли функция при безграничном возрастании х оставаться ограниченной или нет.